биография индийского математика рамануджана
Сриниваса Рамануджан
Сриниваса Рамануджан Айенгор (1887-1920) – индийский математик, член Лондонского королевского общества. Не имея специального математического образования, достиг фантастических высот в области теории чисел. Наиболее значительна его работа совместно с Годфри Харди по асимптотике числа разбиений p(n).
В биографии Рамануджана есть много интересных фактов, которые будут упомянуты в данной статье.
Итак, перед вами краткая биография Сринавасы Рамануджана.
Биография Рамануджана
Сриниваса Рамануджан появился на свет 22 декабря 1887 г. в индийском городе Ироду. Он рос и воспитывался в тамильской семье.
Отец будущего математика, Куппусвами Сриниваса Айенгар, трудился бухгалтером в скромной текстильной лавке. Мать, Комалатаммал, была домохозяйкой.
Детство и юность
Рамануджан воспитывался в строгих традициях касты брахманов. Его мать была очень набожной женщиной. Она читала священные тексты и пела в местном храме.
Когда мальчику едва исполнилось 2 года он заболел оспой. Однако ему удалось оправиться от страшной болезни и выжить.
В школьные годы Рамануджан проявил выдающиеся математические способности. В знаниях он был на голову выше всех своих сверстников.
В скором времени Сриниваса получил от знакомого студента несколько трудов по тригонометрии, которые очень его заинтересовали.
В результате, в 14-летнем возрасте Рамануджан открыл формулу Эйлера о синусе и косинусе, но узнав, что она уже была опубликована сильно расстроился.
Спустя 2 года юноша занялся исследованием 2-томного «Сборника элементарных результатов чистой и прикладной математики» Джорджа Шубриджа Карра.
В труде содержалось свыше 6000 теорем и формул, которые практически не имели доказательств и комментариев.
Рамануджан без помощи педагогов и математиков самостоятельно начал изучать изложенные формулы. Благодаря этому, у него выработался своеобразный метод мышления с оригинальным способом доказательств.
Когда в 1904 г. Сриниваса окончил городскую высшую среднюю школу, он удостоился премии по математике от директора школы Кришнасвами Айера. Директор представил его, как талантливого и незаурядного ученика.
В тот период биографии у Рамануджана появились покровители в лице его начальника сэра Фрэнсиса Спринга, коллеги С. Нараяна Ийер и будущего секретаря Индийского математического общества Р. Рамачандра Рао.
Научная деятельность
В 1913 г. знаменитый профессор Кембриджского университета по имени Годфри Харди получил письмо от Рамануджана, в котором тот сообщал, что не имеет никакого образования, кроме среднего.
Парень писал, что занимается математикой самостоятельно. В письме содержался ряд формул, выведенных Рамануджаном. Он просил профессора опубликовать их если они покажутся ему интересными.
Рамануджан уточнил, что сам он не в состоянии издать свои наработки по причине бедности.
В скором времени Харди понял, что держит в руках уникальный материал. В результате, между профессором и индийским клерком завязалась активная переписка.
Позже у Годфри Харди накопилось порядка 120 формул, неизвестных научному сообществу. Мужчина пригласил 27-летнего Рамануджана в Кембридж для дальнейшего сотрудничества.
Приехав в Великобританию, молодой математик был избран в Английскую академию наук. После этого он стал профессором Кембриджского университета.
Рамануджан в центре с другими учеными в Тринити колледже
Интересен факт, что Рамануджан был первым индийцем, удостоенным таких почестей.
В то время биографии Сриниваса Рамануджан один за одним издавал новые работы, в которых содержались новые формулы и доказательства. Его коллеги были обескуражены работоспособностью и талантом молодого математика.
С ранних лет жизни ученый наблюдал и глубоко исследовал конкретные числа. Каким-то удивительным образом ему удавалось подмечать огромный числовой материал.
В одном из интервью Харди сказал следующую фразу: «Каждое натуральное число было личным другом Рамануджана».
Современники гениального математика считали его экзотическим явлением, опоздавшим родиться на 100 лет. Однако незаурядные способности Рамануджана поражают и ученых нашего времени.
Область научных интересов Рамануджана была неизмерима велика. Он увлекался бесконечными рядами, магическими квадратами, бесконечными рядами, квадратурой круга, гладкими числами, определенными интегралами и многими другими вещами.
Сриниваса нашел несколько частных решений уравнения Эйлера и сформулировал около 120 теорем.
Сегодня Рамануджан считается крупнейшим знатоком цепных дробей в истории математики. В память о нем снято немало документальных и художественных фильмов.
Смерть
Сриниваса Рамануджан умер 26 апреля 1920 г. на территории Мадрасского президентства вскоре после приезда в Индию в возрасте 32 лет.
Биографы математика до сих пор не могут прийти к единому мнению относительно причины его смети.
Согласно одним источникам Рамануджан мог скончаться от прогрессирующего туберкулеза.
В 1994 г. появилась версия, согласно которой у него мог быть амебиаз – инфекционно-паразитарное заболевание, которое характеризуется хроническим рецидивирующим колитом с внекишечными проявлениями.
Рамануджан математик из Индии
В. ПЕРЕПЁЛКИН
Рамануджан _ математик из Индии
(Сокращённый вариант)
В МИРЕ НАУКИScientific American · Издание на русском языке
№ 4 · АПРЕЛЬ 1988 · С. 58–66
Рамануджан и число Пи;
Около 75 лет назад гениальный индийский математик придумал невероятно эффективные способы вычисления числа p. Созданные сейчас на той же основе алгоритмы для компьютеров позволяют найти миллионы десятичных знаков числа p
ДЖОНАТАН М. БОРВЕЙН, ПИТЕР Б. БОРВЕЙН
Число ; – отношение длины окружности к её диаметру – в 1987 г. было вычислено с беспрецедентной точностью: более ста миллионов десятичных знаков. Этот год ознаменовался также столетием со дня рождения Сринивасы Рамануджана – гениального индийского математика, который б;льшую часть своей недолгой и загадочной жизни был оторван от остального математического мира. Эти два события тесно связаны между собой, ибо самые недавние методы вычисления ; предвосхищены Рамануджаном, хотя для их реализации пришлось подождать, пока будут разработаны (многими специалистами, в том числе нами) эффективные алгоритмы, новейшие суперкомпьютеры и нетрадиционные методы умножения чисел.
Тяга к вычислению ; с миллионами десятичных знаков может показаться довольно бессмысленной, а само это занятие – лишь ареной для установления рекордов. Действительно, уже 39 знаков ; достаточно для вычисления окружности, опоясывающей наблюдаемую Вселенную, с погрешностью, не превышающей радиуса атома водорода. Трудно вообразить физические ситуации, которые потребовали бы большей точности. Почему же математики и вычислители не удовлетворятся, скажем, 50 знаками ;?
Этомy есть несколько причин. Во-первых, вычисление ; стало чем-то вроде эталона: по нему оценивается совершенство и надежность применяемого компьютера. Вдобавок погоня за всё более точным значением ; позволяет математикам проникнуть в таинственные и малодоступные закоулки теории чисел. Другая, более простая причина – «потому что оно всегда с нами». И в самом деле, ; является неотъемлемой частью математической культуры вот уже более двух с половиной тысячелетий.
Кроме того, всегда есть шанс, что такие вычисления прольют свет на некоторые загадки, связанные с ;. Ведь эта универсальная постоянная, несмотря на сравнительно простую природу, не так уж хорошо понята. Например, хотя и доказано, что ; – трансцендентное иррациональное число, никому ещё не удалось доказать, что десятичные знаки ; распределены случайно, т.е. каждая цифра от 0 до 9 появляется с одинаковой частотой. Возможно, хотя и в высшей степени маловероятно, что, начиная с какого-то места, все остальные знаки ; состоят только из 0 и 1 или проявляют какую-то другую закономерность. Более того,число ; внезапно появляется в самых неожиданных задачах, не имеющих никакого отношения к окружностям. Так, допустим, что из множества целых чисел наугад выбирается какое-то число. Тогда вероятность того, что оно не имеет повторяющихся (кратных) простых делителей, равна 6/;2. Как и многие другие выдающиеся математики, Рамануджан был пленён волшебной силой этого числа.
Построенные недавно алгоритмы для вычисления ; придали новый блеск математическим сокровищам, извлечённым благодаря возрождению интереса к работам Рамануджана. Однако большая часть того, что он сделал, всё ещё недоступна исследователям. Основные его работы содержатся в «Тетрадях», где он вёл личные записи, пользуясь собственной терминологией и обозначениями. Ещё огорчительнее для математиков, изучивших «Тетради» Рамануджана, то, что он обычно не записывал доказательств своих теорем. Расшифровка и редактирование «Тетрадей», предпринятые Брюсом К. Берндтом из Иллинойсского университета в Эрбана-Шампейн, только сейчас близятся к завершению.
Насколько нам известно, никто и никогда ещё не брался за работу по математическому редактированию такого объёма и такой трудности. Но усилия наверняка будут вознаграждены. Наследие Рамануджана, содержащееся в «Тетрадях», обещает не только обогатить чистую математику, но и найти применения в разных областях математической физики. Например, Родни Дж. Бакстер из Австралийского национального университета признаёт, что открытия Рамануджана помогли ему решить некоторые задачи статистической физики, относящиеся к поведению системы взаимодействующих частиц, рассматриваемых как твердые шарики в гексагональной решётке наподобие медовых сотов. А Карлос Дж. Морено из Университета г. Нью-Йорка и Фримен Дж. Дайсон из Института высших исследований отметили, что физики начинают применять результаты Рамануджана в теории суперструн.
Фигура Рамануджана как математика тем более удивительна, что его формальное образование было весьма ограниченным. Он родился 22 декабря 1887 г. в небогатой семье касты браминов в местечке Эрод на юге Индии и вырос в городке Кумбаконаме, где его отец служил бухгалтером в небольшой текстильной лавке. Его математический талант был замечен очень рано, и в возрасте 7 лет он получил право на стипендию для учёбы в средней школе Кумбаконама. Он поражал одноклассников тем, что помнил наизусть сложные математические формулы и много знаков числа ;.
В 12 лет Рамануджан изучил обширный труд С. Л. Лоуни «Плоская тригонометрия», включая рассмотренные там суммы и произведения бесконечных последовательностей, которым суждено было занять важное место в его последующих работах. Через три года Рамануджан достал книгу «Сборник элементарных результатов чистой математики» (Synopsis of Elementary Results in Pure Mathematics), содержащий свыше 6000 теорем (большей частью без доказательств) и составленный преподавателем Кембриджского университета Дж. Ш. Карром. Две эти книги и стали основой математической подготовки Рамануджана.
В 1903 г. Рамануджан был принят в местный колледж (входивший в состав Мадрасского университета. – Перев.). Однако поглощённый своими математическими изысканиями в ущерб всему остальному, он провалился на экзаменах; то же самое повторилось четыре года спустя в другом колледже в Мадрасе. После женитьбы в 1909 г. Рамануджан на время оставил своё увлечение и попробовал найти работу. К счастью, в 1910 г. по pекомендации многих сочувствующих Рамануджану индийских математиков на него обратил внимание богатый любитель и покровитель математики Р. Рамачандра Рао. Под впечатлением открытий, законспектированных Рамануджаном в его «Тетрадях», Рамачандра Рао предоставил ему ежемесячное пособие.
В 1912 г., желая всё-таки иметь работу, Рамануджан устроился бухгалтером в Трест мадрасского порта, который возглавлял английский инженер Френсис Спринг. Вместе с основателем Индийского математического общества В. Рамасвами Айяром они уговорили Рамануджана сообщить свои результаты трём известным английским математикам. Двое из них, по-видимому, не отозвались. Третьим был Г. Г. Харди из Кембриджского университета, признанный теперь самым выдающимся английским математиком того времени.
Харди, привыкший к письмам от всякого рода «умников», получив послание Рамануджана 16 января 1913 г., сначала был склонен его проигнорировать. Однако вечером того же дня он решил вместе с коллегой и близким другом Джоном И. Литлвудом поломать голову над списком из 120 формул и теорем, которые Рамануджан приложил к своему письму. Через несколько часов они «вынесли приговор» – перед ними работа не маньяка, а гения. (По составленной Харди позднее «шкале чистого таланта» для математиков Рамануджан получил 100 баллов, Литлвуд – 30, а себе Харди поставил 25. Немецкий математик Давид Гильберт, самая влиятельная фигура в математике того времени, заслужил только 80.) Этот эпизод и то, что за ним последовало, по словам Харди, было единственным романтическим событием его жизни. Он писал, что некоторые формулы Рамануджана его совершенно ошеломили, но тем не менее «они, несомненно, верны, ибо если бы они были неверны, ни у кого не хватило бы воображения их выдумать».
Харди немедленно пригласил Рамануджана приехать в Кембридж. Но серьезные возражения со стороны матери и собственные колебания задержали его отъезд до марта 1914 г. В течение следующих пяти лет Харди и Рамануджан работали совместно в Тринити-Колледже Кембриджского университета. Сочетание блестящего мастерства Харди-аналитика и фантастической интуиции Рамануджана привело к необычайно плодотворному сотрудничеству. Они опубликовали серию основополагающих работ о свойствах различных теоретико-числовых функций, открывавших путь для ответа на вопросы типа: каково наиболее вероятное число простых делителей у данного целого числа? Сколькими способами можно выразить натуральное число в виде суммы меньших натуральных чисел?
В 1917 г. Рамануджан стал действительным членом Лондонского королевского общества и профессором Кембриджского университета. Впервые индиец был удостоен того и другого звания. Слава его росла, однако здоровье резко ухудшилось. В военное время, когда в Великобритании остро ощущалась нехватка продовольствия, трудно было придерживаться вегетарианской диеты, которую он строго соблюдал. Рамануджан не раз попадал в больницу, но поток его новых результатов не иссякал. В 1919 г., когда война закончилась и путешествия за границу снова стали безопасными, он вернулся в Индию. Ставший кумиром молодых индийских интеллектуалов 32-летний Рамануджан умер 26 апреля 1920 г., как тогда думали, от туберкулёза, но, скорее, как считают теперь, от острого недостатка витаминов. [Это было в 1987 г. В 1994 г. произошёл новый поворот. Проанализировав симптомы и историю болезни Рамануджана Д. Янг поставил свой диагноз: гепатический амёбиаз; см. подробности на второй странице статьи Б. Берндта «An Overview of Ramanujan’s Notebooks». Кстати, эту весьма интересную публикацию можно рассматривать как продолжение статей В.И.Левина. – E.G.A.] До конца преданный математике Рамануджан и в последние месяцы жизни, измученный болезнью, продолжал свой труд и создал замечательную работу, записанную в его так называемой «Потерянной тетради».
Результаты Рамануджана, касающиеся числа ;, связаны большей частью с его исследованиями модулярных уравнений – темы, наиболее подробно раскрытой в «Тетрадях». Грубо говоря, модулярное уравнение – это алгебраическое соотношение между функцией от некоторой переменной x, т.е. f (x), и той же функцией от переменной x, возведенной в некоторую целую степень, например f (x2), f (x3) или f (x4). Эта целая степень задает «порядок» модулярного уравнения. Простейшим модулярным уравнением является уравнение 2-го порядка
f (x) = 2;f (x;)
Конечно, не всякая функция удовлетворяет какому-нибудь модулярному уравнению. Но существует класс функций, обладающих этим свойством. Они называются модулярными функциями. Кроме того, модулярное уравнение выполняется только при определённых значениях x, а именно тех, которые являются «решениями» данного уравнения.
Рамануджан не имел себе равных в умении «откапывать» решения модулярных уравнений, удовлетворяющие также некоторым другим условиям. Такие решения называются сингулярными. Оказывается, поиски сингулярных решений в некоторых случаях приводят к числам, натуральные логарифмы которых совпадают с ; (умноженным на константу) в поразительно большом числе десятичных знаков. Виртуозно пользуясь этим общим приемом, Рамануджан построил для приближения ; много замечательных бесконечных рядов и одночленных формул. Некоторые из них приведены в его единственной формальной статье на эту тему «Модулярные уравнения и приближения к ;», опубликованной в 1914 г.
Своими попытками вычислять ; Рамануджан отдал дань древней традиции. Уже в самых ранних индо-европейских цивилизациях было известно, что площадь круга пропорциональна квадрату его радиуса, а длина окружности пропорциональна её диаметру. Правда, не совсем ясно, когда впервые было осознано, что отношение длины любой окружности к её диаметру и отношение площади любого круга к квадрату его радиуса равны одной и той же постоянной, которую принято обозначать символом ;. (Сам этот символ был введен гораздо позднее – в 1706 г. английским математиком-любителем Уильямом Джонсоном и стал широко употребляться благодаря поддержке крупнейшего математика XVIII в. Леонарда Эйлера.)
Величайший математик древности Архимед из Сиракуз строго доказал равенство двух указанных отношений в своем трактате «Измерение круга». Он вычислил и приближённое значение ;, причём на основе математических принципов, а не прямых измерений длины окружности, площади круга и диаметра. Архимед вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники (т.е. многоугольники со сторонами одинаковой длины). Диаметр окружности принимался за единицу, а периметры описанного и вписанного многоугольников рассматривались как приближения соответственно сверху и снизу к длине окружности, которая в данном случае численно совпадала с ; (см. вкладку [1]).
Этот метод приближения ; не был новшеством: ещё раньше вписывать многоугольники с возрастающим числом сторон предложил Антифон, а его современник Брисон из Гераклеи дополнительно ввёл описанные многоугольники. Новшеством был выполненный Архимедом правильный расчет результата удвоения числа сторон как вписанного, так и описанного многоугольников. Тем самым он разработал процедуру, повторение которой достаточное число раз в принципе позволяет вычислить ; с любым количеством знаков. (Следует заметить, что периметр правильного многоугольника легко вычисляется с помощью простых тригонометрических функций: синуса, косинуса и тангенса, однако во времена Архимеда, т.е. в III в. до н.э., эти функции ещё не были полностью изучены и вычисление периметров было далеко не таким легким делом, как может сейчас показаться.
Метод Архимеда приближения к ; состоял в том, что в окружность диаметра 1 вписывались и около неё описывались правильные многоугольники. Периметры вписанных многоугольников служат соответственно нижними и верхними границами для значения ;. Для нахождения периметров можно, как здесь показано, воспользоваться синусами и тангенсами, однако Архимеду пришлось изобретать эквивалентные соотношения на основе геометрических построений. С помощью 96-угольника он установил, что ; больше, чем 310/71, и меньше, чем 31/7.
Развитие анализа в основном трудами Исаака Ньютона и Готфрида Вильгельма Лейбница позволило намного ускорить вычисление приближённых значений ;. В анализе существуют эффективные методы нахождения для функции её производной и интеграла. С помощью этих методов можно показать, что обратные тригонометрические функции представляются в виде интегралов от квадратичных функций, связанных с окружностью.
Связь между тригонометрическими функциями и алгебраическими выражениями станет понятней, если рассмотреть окружность единичного радиуса с центром в начале координат на декартовой плоскости х-у. Уравнение этой окружности (её площадь численно совпадает с 😉 имеет вид х2 + y2 = 1; оно получается по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с гипотенузой 1. Синус и косинус угла между положительной полуосью х и радиусом, проведённым в любую точку окружности, равны соответственно координатам y и x этой точки, а его тангенс равен y/x.
Однако для вычисления ; гораздо важнее тот факт, что обратную тригонометрическую функцию можно разложить в ряд, члены которого выражаются через её производные. Сам Ньютон нашёл 15 знаков ;, суммируя несколько первых членов ряда для арксинуса. Позднее он писал одному из коллег: «Мне стыдно сказать вам, до скольких знаков я выполнил эти вычисления, не занимаясь больше ничем».
Спасла положение формула Джона Мэчина: ;/4 = 4 arctg(1/5) – arctg(1/239). Поскольку ряд для арктангенса при заданном значении переменной сходится тем быстрее, чем меньше это значение, благодаря этой формуле вычисления сильно упростились. Пользуясь своей формулой и рядом для арктангенса, Мэчин в 1706 г. вычислил 100 знаков ;. Его метод оказался столь мощным, что с начала XVIII в. и до самого недавнего времени все вычисления ; с большим числом знаков были выполнены с помощью тех или иных вариантов этого метода.
ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВАЛЛИСА (1665)
;
;
В своём письме к Х. Г. Харди, датированном 27 Февраля 1913, Рамануджан пишет:
Уважаемый Сэр, я с большим удовольствием прочёл ваше письмо от 8 февраля 1913 года.
Я ожидал, что вы ответите мне в том же стиле, что и профессор математики из Лондона, который посоветовал мне внимательно изучить «Бесконечные ряды» Томаса Бромвича и не попадать в ловушку, которую таят расходящиеся ряды. …
Это какой-то фокус?
Сумма всех целых положительных чисел равна минус одной двенадцатой.
Это важный научный результат, который находит практическое применение в квантовой физике и теории струн. Еще раз:
Разумеется, в классическом смысле этот ряд — расходящийся, ведь конечного предела у его частичных сумм нет:
Но путём нехитрых манипуляций, понятных даже пятикласснику, мы сейчас самостоятельно выведем, что сумма натурального ряда равна −1/12. Это один из двух методов, которыми пользовался сам Рамануджан в письме Харди. Сперва рассмотрим две другие суммы. S1 — сумму ряда, состоящего из 1 и −1. Этот ряд называется рядом Гранди, в честь итальянского математика Луиджи Гвидо Гранди, который первым обнаружил, что ему можно приписать полную сумму, равную 1/2.
и сумму ряда, получаемого умножением ряда Гранди на натуральный ряд:
Для второго ряда S2 рассмотрим удвоенную сумму этого ряда:
Мы сдвинули вторую копию ряда на одно значение вправо, чтобы лучше была видна идея: складывая второе число первого ряда с первым числом второго, второе — с третьим, и так далее, мы получим, что 2S2 = S1:
откуда получаем, что S2=14.S2=1/4.
Теперь вычтем S2 из суммы натурального ряда S:
Но ряд S−S2=4+8+12+16+…S-S2=4+8+12+16+… представляет собой умноженный на 4 исходный ряд S! Т.е. мы теперь получаем очень простое уравнение: S − S2 = 4S. Нам уже известно, что S2=14S2=1/4. Отсюда:
Вот так, пользуясь лишь арифметическими операциями из арсенала средней школы, мы показали, что сумма всех натуральных чисел от 1 до бесконечности равняется −1/12.
Как был открыт индийский математик Рамануджан
В самом начале1913 года профессор Кембриджского университета Г.Х. Харди за завтраком увидел среди утренней почты, лежавшей на столе, большой замусоленный конверт с индийским почтовым штемпелем.
Вскрыв его, он обнаружил мятые листы бумаги, исписанные странным, незнакомым почерком и усеянные математическими обозначениями.
Харди взглянул на них без особого интереса. К тому времени он был уже учёным с мировым именем, а знаменитых учёных, как ему пришлось убедиться, довольно часто осаждают письмами разные чудаки. Он уже привык получать рукописи, в которых трактовались то пророческая мудрость Великой пирамиды, то откровения мудрецов Сиона, то способы тайнописи, которыми пользовался Бэкон в пьесах так называемого Шекспира. Итак, Харди со скукой поглядел на эти листки.
Он пробежал письмо, как видно с трудом написанное по-английски и подписанное неизвестным ему индийским именем. В письме обращались к нему с просьбой высказать своё мнение по поводу прилагаемых математических открытий. На беглый взгляд рукопись состояла из теорем, большинство которых казались дикими или фантастическими, а две или три были давно известны, но преподносились так, словно о них говорится впервые. Харди не только скучал, но и испытывал раздражение.
Всё это казалось ему какой-то мистификацией или мошенничеством. Он отложил рукопись в сторону и занялся своими обычными делами.
Его друг Мейнард Кейнз как-то сказал, что если бы Харди каждый день полчаса читал биржевые отчёты с таким же вниманием, с каким он подсчитывал очки в отчётах о крикетной игре, то он непременно стал бы богатым человеком.
Придя к себе на квартиру в Тринити-колледж, он ещё раз просмотрел рукопись. Затем он известил Литлвуда, что после обеда им нужно переговорить.
После их изучения он приходит к выводу: «В распоряжении Рамануджана должны быть какие-то очень общие теоремы, которые он от меня скрывает». Но особо удивили Харди соотношения с бесконечными цепными дробями:
«Эти соотношения поставили меня полностью в тупик; я никогда не видел ничего подобного. Достаточно бросить на них один взгляд, чтобы убедиться в том, что они могли быть написаны только математиком самого высшего класса».
По своему благородству Харди умолчал об этом, но этих людей уже нет на свете, и пора сказать истину. Она проста. Харди не был первым из выдающихся учёных, которому была послана рукопись Рамануджана. До него она побывала у двух крупных английских математиков, и оба они вернули её, не сказав ни слова. Думаю, что для истории неважно, какова была их реакция (если она вообще была), когда к Рамануджану пришли заслуженная известность и слава.
На следующий день Харди начал действовать. Он решил, что Рамануджан должен приехать в Англию. Материальная сторона дела не была в данном случае главной проблемой. Тринити-колледж всегда стремился поддержать редкие таланты (спустя несколько лет это же было сделано и для Капицы). А кроме того, раз Харди так решил, то никакая человеческая сила не могла воспрепятствовать этому, а вот помощь силы сверхчеловеческой им бы не помешала.
Рамануджан оказался бедным клерком из Мадраса, вместе с женой он жил на двадцать фунтов стерлингов в год. Он был к тому же брамином, чрезвычайно строго соблюдавшим все религиозные обряды, а его мать была ещё более фанатичной, чем он.
Как же сложился математик, который так удивил Харди? Сриниваза Рамануджан Айенгор родился 22 декабря 1887 г. на юге Индии в селении Эрод. Его детство в основном протекало в маленьком городке Кумбаконам (в 260 км от Мадраса), где его отец работал бухгалтером в небольшой текстильной лавке.
Его родители, а мать особенно, как уже ранее было сказано, были глубоко религиозны. Рамануджан получил воспитание в традициях касты. Детство, проведенное в городе, где каждый камень связан с древней религией, в окружении людей, постоянно ощущающих свою принадлежность к высшей касте, сыграло большую роль в становлении Рамануджана.
С 5 лет Рамануджан в школе, к 10 годам он заканчивает начальную школу. Он начинает проявлять незаурядные способности, получает стипендию, обеспечивающую обучение в средней школе за половинную плату. В 14 лет студент из Мадраса дает ему двухтомное руководство по тригонометрии Лони. Вскоре Рамануджан изучил тригонометрию, и студент имел возможность пользоваться его консультацией в решении задач. К этому периоду относятся первые рассказы и легенды.
Утверждается, что он сам открыл «формулу Эйлера о синусе и косинусе» и был очень расстроен, найдя эту формулу во втором томе Лони. «Маленький брамин» полагает, что в математике, как и в других науках, следует искать присущую ей «высшую истину», расспрашивает учителей. Старшие дают маловразумительные ссылки на теорему Пифагора, а то и на вычисления с процентами.
Двухтомное руководство английского математика Карра «Синопсис элементарных результатов чистой и прикладной математики», написанное в 1880, попало к Рамануджану в 1903 г. ему было тогда 16 лет. Эта книга сыграла огромную роль в формировании Рамануджана.
В ней было собрано 6165 теорем и формул, почти без доказательств, с минимальными пояснениями. В основном книга посвящена алгебре, тригонометрии, анализу, аналитической геометрии. Книга Карра стимулировала мальчика к самостоятельному выводу формул. Об этом говорят те, кто знал Рамануджана в эти годы. Постепенно меняется область его основных интересов: магические квадраты, потом квадратура круга (он находит π с точностью, позволяющей вычислить длину экватора с ошибкой, не превышающей 1-2 м, гласит легенда) и, наконец, наступает очередь бесконечных рядов.
Это уже начало подлинной математической жизни! Книга Карра оказалась достаточно удачной для того, чтобы сформировать математический мир Рамануджана. Но ориентация на эту книгу имела и другие последствия.
Поскольку книга не содержала доказательств, а в лучшем случае − наводящие соображения, у Рамануджана складывается своеобразный метод установления математической истины.
К тому же он лишен в Индии подходящих руководств для того, чтобы проводить строгие доказательства. «Его понимание сущности математического доказательства было более чем туманным; он пришел ко всем своим результатам, как ранним, так и более поздним, как верным, так и неверным, при помощи странной смеси интуитивных догадок, индуктивных соображений и логических рассуждений».
Математическая судьба Рамануджана фактически полностью решилась в эти годы: направление научных поисков, способ думать он уже никогда не менял.
Здесь можно выразить сожаление, что Рамануджан формировался в тяжелых условиях. В нормальных условиях он, несомненно, стал бы математиком с лучшей профессиональной подготовкой, но можно ли быть уверенным, что он был бы столь же уникален? Смог бы Рамануджан увидеть так много, если бы с детства был обучен правилам поведения в математике и доводил бы свои результаты до публикаций со строгими доказательствами, строил бы свой математический мир на базе всего достигнутого человечеством, а не на сравнительно небольшом числе фактов?
В 1904 г. Рамануджан поступает в Мадрасский университет, делает первые успехи не только в математике, но и в английском языке.
Однако математика начинает занимать его целиком, и это не замедлило сказаться.
В 1909 г. он женится; его жене девять лет, и она доживет до наших дней, трогательно сохраняя память о великом супруге. Рамануджан вынужден думать о средствах на жизнь, но он не может найти подходящего занятия.
В 1910 г. он показывает свои математические результаты Рамасвари Айару, основателю Индийского математического общества, затем Сешу Айару, преподавателю Кумбаконамского колледжа, и Рамачандра Рао, крупному чиновнику, получившему математическое образование; позднее они стали биографами Рамануджана.
Рао помогает ему из своих средств, а затем устраивает клерком в почтовое управление. В 1911 г. появляется в печати сообщение Сешу Айара о результатах Рамануджана, а затем и его собственная статья.
В судьбе Рамануджана начинают принимать участие влиятельные английские чиновники; с 1 мая 1913 г. на два года он обеспечен специальной стипендией в 75 рупий (5 фунтов) в месяц. Этого хватает на скромную жизнь, и Рамануджан оставляет карьеру клерка.
Он становится «профессиональным математиком».
Для Харди не было сомнений: для Рамануджана необходимы контакты с настоящими математиками. Обеспечить в Индии это невозможно, и ему необходимо срочно перебраться в Англию. Удалось договориться о стипендии в Кембридже. Однако предстояло убедить в необходимости поездки самого Рамануджана, которого нынешнее положение вполне устраивало.
К тому же против поездки категорически возражала мать, согласие которой было для сына обязательным. Друзья пытаются сформировать общественное мнение, активно действует кембриджский математик Невил, в начале 1914 г. посетивший Мадрас.
Он обращается к ректору университета за поддержкой, но безуспешно. То, что было не под силу ученым, легко осилила богиня Намаккаль (согласно легенде, из ее уст во сне Рамануджан узнавал новые формулы).
Мать увидела во сне сына, сидящего в большом зале в окружении европейцев, и богиня повелела не противиться отъезду.
17 марта 1914 г. Рамануджан отбыл в Англию. Он будет два года получать стипендию по 250 фунтов стерлингов в год. Из них 50 фунтов будет получать мать. По приезде вскоре стипендия была еще увеличена на 60 фунтов.
Насколько Харди мог заметить, несмотря на трудности преодоления религиозных табу, Рамануджан в действительности, за исключением туманного пантеизма, оказался не более верующим, чем сам Харди. Харди не забывал, что перед ним гений, но гений почти без всякого образования, даже математического. Рамануджан не мог поступить в Мадрасский университет, потому что не сдал бы экзамена по английскому языку.
По словам Харди, он всегда был милым, добродушным, но они с большим трудом понимали друг друга, когда их разговор выходил за пределы математики. Рамануджан обычно слушал его внимательно, с терпеливой улыбкой на добром и милом лице.
Но и в математике на их взаимопонимании сказывалось различие в образовании. Рамануджан был самоучка и не имел никакого представления о точности современного научного вывода; в известном смысле он вообще не понимал, каким должно быть научное доказательство.
В какую-то сентиментальную минуту Харди однажды заметил, что если бы Рамануджан имел образование, то он не был бы самим собой. Но стоило вмешаться его критическому уму, как он тут же поправил себя, признав, что сказал чушь.
Если бы Рамануджан получил надлежащее образование, то он, конечно, стал бы ещё более удивительным человеком. Харди пришлось обучать его основным положениям математики, словно Рамануджан был кандидатом на стипендию в винчестерской школе.
Это был совершенно необычный опыт, рассказывал Харди, так как современная математика воспринималась в данном случае таким человеком, который обладал глубочайшей математической интуицией, но буквально никогда не слышал о большинстве математических положений.
Как бы то ни было, они вместе создали пять работ огромного научного значения, в которых и Харди проявил свою блестящую оригинальность.
Работает Рамануджан очень интенсивно и плодотворно. У него много общих интересов с Харди.
Фантастическая интуиция Рамануджана, объединившись с рафинированной техникой Харди, дает замечательные плоды. К Рамануджану приходит признание: в 1918 г. он становится профессором университета в Кембридже; его выбирают в Королевское общество (английскую академию наук). Никогда прежде индус не удостаивался таких почестей. Жилось Рамануджану непросто. Он строго следовал всем религиозным ограничениям, как и обещал родителям. В частности, он был вегетарианцем и был вынужден готовить себе сам.
Он отказывался нарушать правила, даже когда тяжело заболел в 1917 г.
Вероятно, нерегулярность в питании ускорила болезнь (так считал и сам Рамануджан, как вспоминала его вдова). Оставшиеся два года в Англии Рамануджан провел в больницах и санаториях, вынужденный ослабить интенсивность занятий математикой. Непросто было вписаться Рамануджану в кембриджскую жизнь, полную чуждых условностей и традиций. Природная вежливость, стремление не быть источником для дискомфорта окружающим, так присущие индийской культуре, помогали Рамануджану по крайней мере внешне приспособиться к университетской жизни.
Харди часто навещал тяжело больного, умирающего Рамануджана, когда тот лежал в больнице в Патни.
В формировании математического мира Рамануджана было важно, что начальный запас математических фактов (в основном почерпнутый из книги Карра) объединился у него с огромным запасом наблюдений над конкретными числами.
Он коллекционировал такие факты с детства. Его школьный товарищ вспоминал, что Рамануджан знал огромное число знаков в разложениях e, π и других чисел в десятичные дроби.
Он обладал поразительными способностями подмечать арифметические закономерности, терпеливо рассматривая огромный числовой материал − искусство, которым виртуозно владели Эйлер и Гаусс, но которое было в значительной степени утрачено к XX веку. Многое в числовой кладовой открывалось при случайных обстоятельствах. Харди позднее вспоминал, как он навестил в больнице Рамануджана и сказал, что он приехал на такси со «скучным» номером 1729.
Рамануджан разволновался и воскликнул: «Харди, ну как же, Харди, это наименьшее натуральное число, представимое в виде суммы кубов двумя различными способами!» (1729 =13+123=93+103).
В книге Харди о творчестве Рамануджана метко сказано, что «каждое натуральное число было личным другом Рамануджана».
Заболев, Рамануджан начинает думать о возвращении на родину. Лишь к началу 1919 г. его здоровье улучшилось настолько, чтобы совершить далекую поездку по морю. Ему было готово место в Мадрасском университете: слава его достигла Индии. Рамануджан пишет ректору благодарственное письмо, извиняется за то, что последнее время болезнь не давала возможности работать достаточно интенсивно.
Но он так и не смог приступить к работе в университете. Жить на родине (и вообще жить) ему оставалось менее года. После трех месяцев в Мадрасе Рамануджан перебрался в Кумбаконам.
В январе 1920 г. он посылает последнее письмо Харди, где сообщает о работе над новым классом тэта-функций. Ни врачи, ни родные не могут уговорить смертельно больного ученого прервать работу. 26 апреля 1920 г. Рамануджан умер. Ему еще не исполнилось 33 года.