электрическое поле создано двумя бесконечными параллельными

Задачи на теорему Гаусса с решениями

Теорема Гаусса выражает связь между потоком вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность и алгебраической суммой зарядов, заключенных в объеме, ограниченном этой поверхностью. О примерах использования теоремы Гаусса на практике поговорим в этой статье.

Присоединяйтесь к нам в телеграме, чтобы не только решать задачи, но и быть в курсе актуальных новостей для студентов всех специальностей.

Задачи на теорему Гаусса с решением

Если вам нужно сначала освежить теоретические знания, читайте подробную теорию по теореме Гаусса в нашем справочнике. Ну а перед решением задач не забудьте повторить памятку и на всякий случай держите под рукой полезные формулы.

Кстати, при решении задач на теорему Гаусса придется довольно часто брать интегралы. Хотите научиться делать это по-быстрому? У нас уже есть отдельная статья и видео на эту тему.

Задача на теорему Гаусса №1: напряженность поля плоскости

Условие

Определите напряженность поля бесконечной заряженной плоскости. Поверхностная плотность заряда сигма.

Решение

Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой плоскости и направлены в обе стороны от неё. Выберем в качестве гауссовой поверхности цилиндр с основанием, параллельным плоскости:

Поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь боковую поверхность цилиндра и потокам сквозь оба его основания. Поток сквозь боковую поверхность равен нулю, так как линии напряженности параллельны ей:

Согласно теореме Гаусса:

Ответ: см. выше.

Задача на теорему Гаусса №2: напряженность поля двух пластин

Условие

Электрическое поле создано двумя параллельными заряженными тонкими пластинами с поверхностными плотностями заряда + сигма и -2 сигма. Площадь каждой пластины S, расстояние между пластинами d можно считать значительно меньшим их продольных размеров. Какова напряженность электрического поля, созданного этими пластинами?

Решение

Для электрического поля действует принцип суперпозиции: результирующее поле равно векторной сумме отдельных полей каждой пластины. Из предыдущей задачи мы знаем формулу, по которой вычисляется напряженность поля тонкой заряженной пластины, запишем для каждой из них:

Векторы напряженности между пластинами совпадают по направлению, результирующая напряженность равна:

Справа и слева от пластин, во внешней области, векторы направлены в разные стороны:

Для наглядности приведем рисунок:

Ответ: см. выше.

Задача на теорему Гаусса №3: напряженность электрического поля бесконечной нити

Условие

Определить напряженность электрического поля, создаваемую бесконечной тонкой нитью, равномерно заряженной с линейной плотностью заряда лямбда.

Решение

Напряженность будем искать при помощи теоремы Гаусса. Наша задача – определить зависимость напряженности от расстояния от нити. В качестве поверхности выберем цилиндр с боковыми стенками, параллельными нити. Будем учитывать только поток вектора напряженности через боковую поверхность, так как поток через основания цилиндра равен нулю:

Заряд нити внутри рассматриваемой поверхности равен заряду отрезка нити длиной l:

Ответ: см. выше.

Задача с применением теоремы Гаусса №4

Условие

Электрическое поле создано бесконечной заряженной прямой линией с равномерно распределённым зарядом (τ = 10 нКл/м). Определить кинетическую энергию Т2 электрона в точке 2, если в точке 1 его кинетическая энергия Т1 = 200 эВ. Расстояние точки 2 от линии равно а = 0,5 см, точки 1 – b=1,5 см.

Решение

Ранее рассмотренные задачи были примерами вычисления полей с помощью теоремы Гаусса. Теперь рассмотрим задачу, которая решается сиспользованием этой информации. Из предыдущей задачи возьмем выражение для напряженности поля заряженной нити:

Разность потенциалов поля в двух точках будет равна:

При прохождении этой разницы потенциалов электрон приобретёт кинетическую энергию:

Конечная энергия частицы будет равна:

Ответ: 397.6 эВ.

Задача на теорему Гаусса №5: поток электрического поля

Условие

Два точечных заряда q и –q расположены на расстоянии 2l друг от друга. Найти поток вектора напряженности через круг радиуса R. Плоскость круга проходит через его середину и перпендикулярна отрезку прямой, соединяющей заряды.

Решение

Рассмотрим элементарный поток результирующего электрического поля через бесконечно малую кольцевую зону круга:

В записи потока учтено, что вектор напряженности перпендикулярен поверхности круга. Выразим напряженность электрического поля через «ро», используя подобие треугольников, показанных на рисунке:

Вычисление потока сводится к взятию интеграла:

Ответ: см. выше.

Примеры применения теоремы Гаусса можно найти не только в электростатике, но и в других областях физики.

Вопросы на теорему Гаусса

Вопрос 1. Сформулируйте теорему Гаусса.

Ответ. Теорема Гаусса гласит:

Поток вектора напряженности электростатического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов внутри поверхности, деленной на эпсилон нулевое (электрическую постоянную).

Вопрос 2. Что такое поток вектора напряженности?

Ответ. Поток вектора напряженности – скалярная физическая величина, определяемая как число линий вектора напряженности, пронизывающих некоторую поверхность S. Поток напряженности электрического поля через поверхность S конечного размера определяется как алгебраическая сумма элементарных потоков:

Вопрос 3. Что такое силовые линии напряженности?

Ответ. Это линии, с помощью которых используются для графического представления поля:

Вопрос 4. Где начинаются и где заканчиваются силовые линии?

Ответ. Силовые линии начинаются и заканчиваются на зарядах, оставаясь непрерывными в пустом пространстве.

Вопрос 5. Верно ли утвержление: теорема Гаусса справедлива только для неподвижных зарядов.

Ответ. Нет, так как заряд частицы не зависит от ее скорости.

Нужна помощь в решении задач и других студенческих заданий? Обратитесь в профессиональный студенческий сервис за качественным решением проблем.

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Источник

Электрическое поле создано двумя бесконечными параллельными пластинами

Электрическое поле создано двумя бесконечными параллельными пластинами, несущими равномерно распределенный по площади заряд с поверхностными плотностями S1=2 нКл/м2 и S2= –5 нКл/м2. Определить напряженность Е поля: 1) между пластинами; 2) вне пластин. Построить график изменения напря¬женности вдоль линии, перпендикулярной пластинам.

1) между пластинами;

Что ты хочешь узнать?

Ответ

Поскольку поле бесконечной плоскости однородно и напряженность его равна E=σ/(2·ε·ε0)
диэлектрическая проницаемость вакуума
ε0=8.85E(-12) Кл²/(Н·м)
для воздуха диэлектрическая проницаемость ε=1
Таким образом, между плоскостями напряженность необходимо сложить
E=E1+E2
E=(σ1+σ2)/(2· ε0)
E=282 Н/Кл
Снаружи вычитаем
E´= E1-E2
E´=(σ1-σ2)/(2· ε0)
E´=56 Н/Кл
Как видим внешнее поле в 5 раз слабее, чем между пластинами.
Поэтому на рисунке линии напряженности будут в 5 раз реже.

заряды поверхностными плотностями

С какой силой на единицу площади отталкиваются две одноименно заряженные бесконечные плоскости с одинаковой поверхностной плотностью заряда 41 нКл/кв.см.

Найти потенциал φ точки поля, находящейся на расстоянии r = 10 см от центра заряженного шара радиусом r = 1 см. Задачу решить, если: а) задана поверхностная плотность заряда на шаре σ = 0,1 мкКл/м 2 ; б) задан потенциал шара φ = 300 В.

Разность потенциалов между длинными и тонкими коаксиальными цилиндрическими оболочками (R₁ = 3 см и R₂ = 10 см), заряженными равными разноименными зарядами, равна U = 450 В. Определить: а) заряд на единице длины оболочек; б) поверхностную плотность зарядов на каждой оболочке; в) напряженность вблизи поверхностей внутренней оболочки, на середине расстояния между оболочками и вблизи поверхностей внешней оболочки.

Сколько из приведенных выражений представляют энергию плоского заряженного конденсатора (в СИ)?

где S — площадь обкладок, d — ширина зазора, q — модуль зарядов на обкладках, σ — модуль поверхностных плотностей заряда на обкладках.

Источник

Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей

(рис. 127). Пусть плоскости заряжены равномерно разноименными зарядами с поверхностными плотностями +σ и −σ. Поле таких плоскостей найдем как суперпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности.

На рисунке верхние стрелки соответствуют полю от положительно заряженной плоскости, нижние — от отрицательной плоскости. Слева и справа от плоскостей поля вычитаются (линии напряженности направлены навстречу друг другу), поэтому здесь напряженность поля E = 0

В области между плоскостями E₊ + E₋ (E₊ и E₋ определяются по формуле ), поэтому результирующая напряженность: .

Таким образом, результирующая напряженность поля в области между плоскостями описывается этой формулой, а вне объема, ограниченного плоскостями, равна нулю.

1. Поле равномерно заряженной сферической поверхности

Рис. 1.10. Электрическое поле заряженной сферы

Сферическая поверхность радиуса R с общим зарядом Q заряжена равномерно с поверхностной плотностью .

Благодаря равномерному распределению заряда по поверхности поле, создаваемое им, обладает сферической симметрией. Поэтому линии напряженности направлены радиально (рис. 1.10, а). Напряженность поля будет, таким образом, одинакова во всех точках воображаемой сферы радиуса r, концентричной с заряженной сферой. Поскольку напряженность поля перпендикулярна поверхности, теорема Гаусса дает

или

.

Рис. 1.11. Зависимость напряженности поля равномерно заряженного шара от расстояния r

Внутри шара при r   = 4/3  r  3 . Поэтому, согласно теореме Гаусса

,

График зависимости E от r приведен на рис. 1.11.

3. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости

Рис.1.12. Электрическое поле равномерно заряженной плоскости

Бесконечная плоскость заряжена с постоянной плотностью +.

Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой плоскости и направлены от нее в обе стороны. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим цилиндр, основания которого параллельны заряженной плоскости, а ось перпендикулярна ей. Поскольку через боковую поверхность цилиндра поток равен нулю, весь поток проходит сквозь его основания (рис. 1.12 а). По теореме Гаусса

Отсюда напряженность электрического поля равна

.

График зависимости E от r приведен на рис. 1.12 б.

4. Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити)

Рис. 1.13. Электрическое поле равномерно заряженного цилиндра

Бесконечный цилиндр радиуса R заряжен равномерно; линейная плотность заряда равна l. Из соображений симметрии следует, что линии напряженности будут направлены по радиусам круговых сечений с одинаковой густотой во все стороны относительно оси цилиндра. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим коаксиальный с заряженным цилиндр радиуса r и высотой l (рис. 1.13 а). Поскольку вектор напряженности параллелен торцам, поток сквозь основания цилиндра равен нулю, и

.

.

Источник

Электрическое поле создано двумя бесконечными параллельными

Вычисление электрических полей с помощью теоремы Остроградского –Гаусса

Продемонстрируем возможности теоремы Остроградского-Гаусса на нескольких примерах. Поле бесконечной однородно заряженной плоскости Поверхностная плотность заряда на произвольной плоскости площадью S определяется по формуле: где d q – заряд, сосредоточенный на площади d S; d S – физически бесконечно малый участок поверхности. Пусть σ во всех точках плоскости S одинакова. Заряд q – положительный. Напряженность во всех точках будет иметь направление, перпендикулярное плоскости S (рис. 2.11). Очевидно, что в симметричных, относительно плоскости точках, напряженность будетодинакова по величине и противоположна по направлению. Представим себе цилиндр с образующими, перпендикулярными плоскости, и основаниями ΔS, расположенными симметрично относительно плоскости (рис. 2.12). Рис. 2.11 Рис. 2.12 Тогда Суммарный поток через замкнутую поверхность (цилиндр) будет равен: Внутри поверхности заключен заряд . Следовательно, из теоремы Остроградского–Гаусса получим: откуда видно, что напряженность поля плоскости S равна: Полученный результат не зависит от длины цилиндра. Это значит, что на любом расстоянии от плоскости Поле двух равномерно заряженных плоскостей Пусть две бесконечные плоскости заряжены разноименными зарядами с одинаковой по величине плотностью σ (рис. 2.13). Результирующее поле, как было сказано выше, находится как суперпозиция полей, создаваемых каждой из плоскостей . Тогда внутри плоскостей Вне плоскостей напряженность поля Полученный результат справедлив и для плоскостей конечных размеров, если расстояние между плоскостями гораздо меньше линейных размеров плоскостей (плоский конденсатор). Между пластинами конденсатора действует сила взаимного притяжения (на единицу площади пластин): Механические силы, действующие между заряженными телами, называют пондермоторными. Тогда сила притяжения между пластинами конденсатора: где S – площадь обкладок конденсатора. Т.к. , то Это формула для расчета пондермоторной силы. Поле заряженного бесконечно длинного цилиндра (нити) Пусть поле создается бесконечной цилиндрической поверхностью радиуса R, заряженной с постоянной линейной плотностью , где d q – заряд, сосредоточенный на отрезке цилиндра (рис. 2.14). Из соображения симметрии следует, что Е в любой точке будет направлена вдоль радиуса, перпендикулярно оси цилиндра. Представим вокруг цилиндра (нити) коаксиальную замкнутую поверхность (цилиндр в цилиндре) радиуса r и длиной l (основания цилиндров перпендикулярно оси). Для оснований цилиндров для боковой поверхности т.е. зависит от расстояния r. Следовательно, поток вектора через рассматриваемую поверхность, равен При на поверхности будет заряд По теореме Остроградского-Гаусса , отсюда Если , т.к. внутри замкнутой поверхности зарядов нет (рис.2.15). Если уменьшать радиус цилиндра R (при ), то можно вблизи поверхности получить поле с очень большой напряженностью и, при , получить нить. Поле двух коаксиальных цилиндров с одинаковой линейной плотностью λ, но разным знаком В зазоре между цилиндрами, поле определяется так же, как и в предыдущем случае: Это справедливо и для бесконечно длинного цилиндра, и для цилиндров конечной длины, если зазор между цилиндрами намного меньше длины цилиндров (цилиндрический конденсатор). Поле заряженного пустотелого шара Пустотелый шар (или сфера) радиуса R заряжен положительным зарядом с поверхностной плотностью σ. Поле в данном случае будет центрально симметричным, – в любой точке проходит через центр шара. ,и силовые линии перпендикулярны поверхности в любой точке. Вообразим вокруг шара – сферу радиуса r (рис. 2.17). Если то внутрь воображаемой сферы попадет весь заряд q, распределенный по сфере, тогда откуда поле вне сферы: Внутри сферы, при поле будет равно нулю, т.к. там нет зарядов: Как видно из (2.5.7) вне сферы поле тождественно полю точечного заряда той же величины, помещенному в центр сферы. Поле объемного заряженного шара Для поля вне шара радиусом R (рис. 2.18) получается тот же результат, что и для пустотелой сферы, т.е. справедлива формула: Но внутри шара при сферическая поверхность будет содержать в себе заряд, равный где ρ – объемная плотность заряда, равная: ; – объем шара. Тогда по теореме Остроградского-Гаусса запишем: Таким образом, внутри шара Источник ← Отбойники для парковки автомобилей металлические Разрешение p7s чем открыть → Вам также понравится сердечный ритм неравномерный что делать 03.02.202408.07.2023 admin 0 утеплитель для стен урса терра 37 01.02.202413.07.2023 admin 0 Рейтинг mmr что это 02.02.202401.07.2023 admin 0 Добавить комментарий Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сохранить моё имя, email и адрес сайта в этом браузере для последующих моих комментариев.