Рациональные дроби что это такое
Рациональная дробь
где P(x) и Q(x) некоторые многочлены.
Различают правильные и неправильные рациональные дроби, по аналогии с обычными числовыми дробями. Рациональная дробь называется правильной, если порядок знаменателя больше порядка числителя, и неправильной, если наоборот.
Любую неправильную рациональную дробь можно преобразовать в сумму некоторого многочлена и правильной рациональной дроби
Любую рациональную дробь многочленов с вещественными коэффициентами можно представить как сумму рациональных дробей, знаменателями которых являются выражения (a — вещественный корень Q(x)) либо (a, b — комплексные корни Q(x)) в степени, меньшей, либо равной кратности соответствующих корней в многочлене Q(x). На основании этого утверждения основана теорема об интегрируемости рациональной дроби. Согласно ей, любая рациональная дробь может быть интегрирована в элементарных функциях, что делает класс рациональных дробей весьма важным в математическом анализе.
См. также
ar:كسر be-x-old:Дробы bg:Дроб (математика) bn:ভগ্নাংশ (গণিত) ca:Fracció cs:Zlomek da:Brøk eo:Frakcio (matematiko) gd:Bloigh (matamataig) hгопгггггппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппп
nn brot lmo:Frazziun nl:Breuk (wiskunde) nn:Brøk no:Brøk pl:Ułamek simple:Fraction (mathematics) sl:Ulomek sv:Bråk uk:Дроби yi:בראכטייל
Рациональная дробь
Рациональная дробь
Рациональная дробь — это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены. Она имеет вид
где P(x) и Q(x) некоторые многочлены.
Различают правильные и неправильные рациональные дроби, по аналогии с обычными числовыми дробями. Рациональная дробь называется правильной, если порядок знаменателя больше порядка числителя, и неправильной, если наоборот.
Любую неправильную рациональную дробь можно преобразовать в сумму некоторого многочлена и правильной рациональной дроби
Любую рациональную дробь многочленов с вещественными коэффициентами можно представить как сумму рациональных дробей, знаменателями которых являются выражения (x − a) k (a — вещественный корень Q(x)) либо (x 2 + px + q) k (где x 2 + px + q не имеет действительных корней), причём степени k не больше кратности соответствующих корней в многочлене Q(x). На основании этого утверждения основана теорема об интегрируемости рациональной дроби. Согласно ей, любая рациональная дробь может быть интегрирована в элементарных функциях, что делает класс рациональных дробей весьма важным в математическом анализе.
См. также
Полезное
Смотреть что такое «Рациональная дробь» в других словарях:
Дробь (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Дробь. 8 / 13 числитель числитель знаменатель знаменатель Две записи одной дроби Дробь в математике число, состоящее из одной или нескольких частей… … Википедия
Дробь — В Викисловаре есть статья «дробь» Наименование символа «⁄» (другое, распространённое по большей части в английском языке, название символа солидус (англ.), или слэш), например, в номерах домов. Так номер дома «5/17» читается «пять… … Википедия
РАЦИОНАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ — 1) Р. ф. функция w=R(z), где R(z) рациональное выражение от z, т. е. выражение, полученное из независимого переменного z и нек рого конечного набора чисел (действительных или комплексных) посредством конечного числа арифметич. действий. Р. ф.… … Математическая энциклопедия
РАЦИОНАЛЬНОЕ ЧИСЛО — число, выражаемое рациональной дробью. Формальная теория Р. ч. строится с помощью пар целых чисел. Р а ц и о н а л ь н о й д р о б ь ю наз. упорядоченная пара ( а, b )целых чисел а и b, у к рой b№0. Две рациональные дроби и наз. э к в и в а л е н … Математическая энциклопедия
Общие сведения
Математика — наука о числах и действиях над ними. Значение, которое можно записать в виде обыкновенной дроби, называют рациональным. Оно состоит из целого числа в числителе и натурального в знаменателе. Простое выражение можно представить как бесконечную десятичную дробь. Множество рациональных чисел обозначают латинской буквой Q. Если действительное значение не рациональное, оно иррациональное.
Выражения могут быть представлены в нестандартном виде, поэтому приходится выполнять дополнительные преобразования. Это возможно, так как делимое и делитель являются самодостаточными. Упрощения выполняются путём разложения на множители. При этом по возможности следует выполнять действия как для числителя, так и знаменателя. Операции преобразования включают в себя:
Наиболее часто вызывает сложность подбор общего знаменателя. Это приведение основывается на основном свойстве дроби. Согласно ему, умножение на ненулевой многочлен одновременно делимого и делителя не приводит к изменению результата. Отсюда следует, что числитель и знаменатель можно возводить в квадрат, извлекать корень.
Для успешного выполнения действий важно знать формулы сокращённого умножения. Это базисные знания, без которых решать рациональные дроби в 8 классе будет невозможно.
Всего используется 7 теорем: разность кубов и квадратов, произведение разности и суммы, куб суммы и разности, умножение на неполный квадрат. Используя знания, полученные в седьмом классе, многие операции можно выполнять в уме и приводить многочлен к стандартному виду без предварительного раскрытия скобок.
Свойства дроби
Пусть имеется множество, каждому члену которого поставлено в соответствие число игрек. Про такое положение говорят, что множеству задана числовая функция: y = f (x), где x Є D. Описывается область определением функции и обозначается как D (f (x)). Множество можно представить как отношение двух многочленов. Когда в числителе стоит многочлен энной степени, а в знаменателе эмной, то f (x) называют рациональным отношением или дробью.
Такие выражения обладают рядом свойств. Основное из них выражают формулой: P (x)/Q (x) = P (x) * R (x) / Q (x) * R (x). Справедливо оно лишь для случая, при котором множества Q (x) и R (x) неравны нулю, при этом R (x) является многочленом. Формулировка свойства звучит следующим образом: делимое и делитель можно помножить на одинаковое выражение. Например, им может быть число, одночлен или другой многочлен.
К другим свойствам относят:
Если равенство f/g =y/x справедливо, при этом y/x = n/m, верным будет и выражение: f/g = n/m. Отсюда следует, что рациональную дробь можно превратить в обыкновенную, если её делитель и делимое можно умножить или разделить на одинаковый многочлен. Единственное условие — он должен быть отличным от нуля.
Рациональную дробь можно представить в виде суммы. Выполняют это действие, основываясь на правиле сложения или вычитания выражений с одинаковыми знаменателями. Например, k * m — k / k+1 = 1/k + (k2 * m — k2 — k — 1) / (k2 + k).
Из свойств рациональных отношений следует, что для вычитания их друг из друга нужно привести члены к общему знаменателю и найти разность числителей. Аналогично поступают и для операции сложения, только вычитание в числителе заменяют складыванием. Произведение же находится простым перемножением делимых и делителей. А вот деление выполняют по-другому. Чтобы найти частное, нужно первое выражение умножить на обратную вторую дробь. Чтобы возвести дробь в степень, нужно отдельно в неё возвести числитель и знаменатель. По тому же принципу извлекают и корень.
Понимая, как правильно использовать приведённые свойства, решать задания на контрольной работе в школе будет несложно. Но перед сдачей теста необходимо попрактиковаться в самостоятельном решении.
Изменение знака
Следует отметить, что приём по изменению знака часто используют при разложении рациональных отношений на простейшие дроби. Например, (2×3 — 3) / (- x3 — x). Так как степень числа в числителе меньше чем в знаменателе, нужно использовать разложение. Причём в другом случае пришлось бы применять деление для нахождения целой части. Для удобства действия выражение нужно умножить на минус единицу. В результате несложно будет определить верность равенства: 2×3 + 3 / (x3 + x) = 2 + (-2x + 3) / (x3 + x).
Решение примеров
Самостоятельное решение рациональных дробей в алгебре в 8 классе строится на цепочке преобразований. Первое, что нужно сделать — оценить возможность разложения отношения на множители. Для этого лучше использовать формулы сокращённого умножения или дискриминант. Алгоритм преобразований можно представить в следующем виде:
Вот 3 типовые задачи, которые обычно предлагают решить студентам при сдаче зачёта:
При упрощении рациональных отношений сложность связана с тем, что не всегда просто найти общий множитель для числителя и знаменателя. Причём он и не всегда существует, поэтому и нужно пробовать разложение на множители. Если такого члена нет, дробь упростить нельзя.
Что такое Рациональные числа?
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Определение рациональных чисел
Рациональное число — это число, которое можно представить в виде положительной или отрицательной обыкновенной дроби или числа ноль. Если число можно получить делением двух целых чисел, то это число рациональное.
Рациональные числа — это те, которые можно представить в виде
где числитель m — целое число, а знаменатель n — натуральное число.
Рациональные числа – это все натуральные, целые числа, обыкновенные дроби, бесконечные периодические дроби и конечные десятичные дроби.
Множество рациональных чисел принято обозначать латинской буквой Q.
Примеры рациональных чисел:
Свойства рациональных чисел
У рациональных чисел есть определенные законы и ряд свойств — рассмотрим каждый их них. Пусть а, b и c — любые рациональные числа.
Кроме основных перечисленных есть еще ряд свойств:
Мы знаем, что 0 = d + (-d) для любого рационального d, значит a * 0 = a * (d + (-d)).
Распределительный закон позволяет переписать выражение:
Так получилась сумма двух противоположных чисел, которая в результате дает нуль, что доказывает равенство a * 0 = 0.
Определение иррационального числа
Иррациональное число — это действительное число, которое невозможно выразить в форме деления двух целых чисел, то есть в рациональной дроби
Оно может быть выражено в форме бесконечной непериодической десятичной дроби.
Бесконечная периодическая десятичная дробь — это такая дробь, десятичные знаки которой повторяются в виде группы цифр или одного и того же числа.
Обозначение множества иррациональных чисел: латинская буква I.
Действительные или вещественные числа — это все рациональные и иррациональные числа: положительные, отрицательные и нуль.
Свойства иррациональных чисел:
Различие между целыми, натуральными и рациональными числами
Натуральные числа — это числа, которые мы используем, чтобы посчитать что-то конкретное, осязаемое: один банан, две тетрадки, десять стульев.
А вот, что точно не является натуральным числом:
Целые числа — это натуральные числа, противоположные им и нуль.
Какие числа называются рациональными мы уже знаем из первой части статьи. Повторим еще раз.
Рациональные числа — это конечные дроби и бесконечные периодические дроби.
Например: 
Любое рациональное число можно представить в виде дроби, у которой числитель принадлежит целым числам, а знаменатель — натуральным. Поэтому во множество рациональных чисел входит множество целых и натуральных чисел.
Но не все числа можно назвать рациональными. Например, бесконечные непериодические дроби не принадлежат множеству рациональных чисел. Так √3 или 𝜋 (число пи) нельзя назвать рациональными числами.
Преобразование рациональных (алгебраических) дробей: виды преобразований, примеры
Виды выражений из алгебры могут принимать вид рациональных дробей, которые характерны тождественным преобразованиям этих дробей. Чаще всего можно встретить еще одно название алгебраические дроби. Таким образом, понятия рациональных и алгебраических дробей равнозначны.
Рассмотрим приведение рациональной дроби к новому знаменателю, смене знаков, сокращению. Подробно остановимся на преобразовании дробей в виде суммы с несколькими показателями. В заключении приведем несколько примеров, в которых подробно рассмотрим решения.
Определение и примеры рациональных дробей
Рациональная дробь – это дробь,в числителе и знаменателе которой, имеются многочлены с натуральными, целыми и рациональными коэффициентами.
Многочлены могут быть приведены в нестандартном виде, что говорит о том, что необходимы дополнительные преобразования.
Рассмотрим примеры рациональных дробей.
Преобразования числителя и знаменателя рациональной дроби
Числитель и знаменатель считаются самодостаточными числовыми выражениями. Отсюда следует, что с ними можно производить различные преобразования, то есть в числителе или знаменателе разрешено заменять на тождественное равное ему выражение.
Чтобы провести тождественные преобразования, необходимо группировать и приводить подобные слагаемые, причем знаменатель заменять на более простое подобное ему выражение. Числители и знаменатели содержат многочлены, значит, что с ними можно производить преобразования, подобные для многочленов. Это могут быть и приведения к стандартному виду или представление в виде произведения.
Для начала необходимо привести к стандартному виду. Применим свойство степени, получим выражение вида
Необходимо выполнить преобразования знаменателя. Представляем его в виде произведения, то есть раскладываем на многочлены. Для этого производим группировку первого и третьего слагаемых, а второго с четвертым. Общий множитель выносим за скобки и получаем выражение вида
Видно, что полученное выражение имеет общий множитель, который и необходимо вынести за скобки, чтобы получить
Теперь подходим к произведению многочленов.
Данные преобразования необходимы для их использования в преобразованиях.
Приведение к новому знаменателю
При изучении обыкновенных дробей знакомимся с основным свойством дроби, которое говорит о том, что при умножении числителя и знаменателя на любое натуральное число, получаем равную предыдущей дробь. Данное свойство распространяется и на рациональные дроби: при умножении на ненулевой многочлен числитель и знаменатель, получим дробь, равную предыдущей.
Отсюда следует то, что при решении необходимо воспользоваться приведением рациональной дроби к новому знаменателю. То есть ее умножение и числителя и знаменателя на ненулевой многочлен. В результате получим дробь, равную заданной.
Изменение знаков перед дробью, в ее числителе и знаменателе
Основное свойство дроби применяется для того, чтобы можно было сменить знаки у членов дроби. Эти преобразования характерны для рациональных дробей.
При работе с дробями можно менять знак только в числителе или только в знаменателе. При замене знака дроби, получаем тождественно равную дробь. Запишем это утверждение так:
Чаще всего такие преобразования подходят для дробно рациональных выражений и их преобразований.
Сокращение рациональных дробей
Не всегда виден общий знаменатель при сокращении. Это и есть небольшая проблема. Не всегда это возможно увидеть сразу. Возможно, необходимо будет выполнить разложение числителя и знаменателя на множители. Это упростит решение. Подробно нюансы рассмотрены в теме сокращения алгебраических дробей.
При сокращении важно обратить внимание на то, что чаще всего необходимо раскладывать и числитель и знаменатель на множители.
Представление рациональной дроби в виде суммы дробей
Если имеется несколько дробей, то преобразование производится особым образом. Такую рациональную дробь необходимо представить в виде выражения, где имеются одночлены.
Это основано на правиле сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.
В особую группу выделяют представления рациональных дробей с одной переменной. Когда показатель такой дроби больше или равен степени показателя знаменателя, тогда переходим к преобразованию суммы рационального выражения. То есть выполняется деления многочлена на многочлен.