Рациональные и иррациональные числа что это такое
Числа: натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные
Натуральные числа
Натуральные числа определение – это целые положительные числа. Натуральные числа используют для счета предметов и многих иных целей. Вот эти числа:
Это натуральный ряд чисел.
Ноль натуральное число? Нет, ноль не является натуральным числом.
Сколько натуральных чисел существует? Существует бесконечное множество натуральных чисел.
Каково наименьшее натуральное число? Единица — это наименьшее натуральное число.
Каково наибольшее натуральное число? Его невозможно указать, ведь существует бесконечное множество натуральных чисел.
Сумма натуральных чисел есть натуральное число. Итак, сложение натуральных чисел a и b:
с — это всегда натуральное число.
Произведение натуральных чисел есть натуральное число. Итак, произведение натуральных чисел a и b:
с — это всегда натуральное число.
Разность натуральных чисел Не всегда есть натуральное число. Если уменьшаемое больше вычитаемого, то разность натуральных чисел есть натуральное число, иначе — нет.
Частное натуральных чисел Не всегда есть натуральное число. Если для натуральных чисел a и b
где с — натуральное число, то это значит, что a делится на b нацело. В этом примере a — делимое, b — делитель, c — частное.
Делитель натурального числа — это натуральное число, на которое первое число делится нацело.
Каждое натуральное число делится на единицу и на себя.
Простые натуральные числа делятся только на единицу и на себя. Здесь имеется ввиду делятся нацело. Пример, числа 2; 3; 5; 7 делятся только на единицу и на себя. Это простые натуральные числа.
Единицу не считают простым числом.
Числа, которые больше единицы и которые не являются простыми, называют составными. Примеры составных чисел:
Единицу не считают составным числом.
Множество натуральных чисел составляют единица, простые числа и составные числа.
Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой N.
Свойства сложения и умножения натуральных чисел:
переместительное свойство сложения
сочетательное свойство сложения
переместительное свойство умножения
сочетательное свойство умножения
распределительное свойство умножения
Целые числа
Целые числа — это натуральные числа, ноль и числа, противоположные натуральным.
Числа, противоположные натуральным — это целые отрицательные числа, например:
Множество целых чисел обозначается латинской буквой Z.
Рациональные числа
Рациональные числа — это целые числа и дроби.
Любое рациональное число может быть представлено в виде периодической дроби. Примеры:
Из примеров видно, что любое целое число есть периодическая дробь с периодом ноль.
Любое рациональное число может быть представлено в виде дроби m/n, где m целое число,n натуральное число. Представим в виде такой дроби число 3,(6) из предыдущего примера:
Другой пример: рациональное число 9 может быть представлено в виде простой дроби как 18/2 или как 36/4.
Множество рациональных чисел обозначается латинской буквой Q.
Подробнее о рациональных числах в разделе Рациональные числа.
Иррациональные числа
Иррациональные числа — это бесконечные непериодические десятичные дроби. Примеры:
Подробнее об иррациональных числах в разделе Иррациональные числа.
Действительные числа
Действительные числа – это все рациональные и все иррациональные числа.
Множество действительных чисел обозначается латинской буквой R.
Понятие о вещественных (действительных) числах, рациональные и иррациональные числа
Содержание
 Рациональные и иррациональные числа. Понятие о вещественных числах |
Иррациональность числа  |
| Десятичные приближения иррациональных чисел с недостатком и с избытком |
Рациональные и иррациональные числа. Понятие о вещественных числах
Каждое из рациональных чисел можно представить в виде
,
где m – целое число, а n – натуральное число.
и т.п. являются примерами иррациональных чисел.
Иррациональные числа нельзя представить в виде дроби, числитель которой является целым числом, а знаменатель натуральным числом.
При обращении иррациональных чисел в десятичные дроби получаются бесконечные непериодические десятичные дроби. Множество иррациональных чисел бесконечно.
Множество рациональных и иррациональных чисел составляют множество вещественных (действительных) чисел.
Иррациональность числа 
Проведем доказательство иррациональности числа методом «от противного». С этой целью предположим, что число является рациональным числом. Тогда существует дробь вида
,
и такая, у которой числитель и знаменатель являются натуральными числами, не имеющими простых общих делителей.
Используя данное равенство, получаем:
Отсюда вытекает, что число n 2 является четным, а, значит, и число n является четным числом.
Итак, число m является четным, и число n является четным, значит, число 2 является общим делителем числителя и знаменателя дроби
.
Полученное противоречие доказывает, что несократимой дроби, удовлетворяющей соотношению
не существует. Следовательно, число является иррациональным числом, что и требовалось доказать.
Десятичные приближения иррациональных чисел с недостатком и с избытком
Разберем понятие десятичных приближений иррациональных чисел с недостатком и с избытком на конкретном примере. Для этого рассмотрим иррациональное число
Это число, как и любое другое иррациональное число, изображается бесконечной непериодической десятичной дробью.
Последовательностью десятичных приближений числа 
с недостатком называют последовательность конечных десятичных дробей, которая получится, если у числа отбросить все десятичные знаки, начиная, сначала с первого десятичного знака, затем со второго десятичного знака, потом с третьего десятичного знака и т.д.
Само число располагается между каждым своим приближением с недостатком и соответствующим ему приближением с избытком.
Для числа возникающая бесконечная последовательность десятичных приближений с недостатком и с избытком, имеет следующий вид:
Точно также можно построить последовательность десятичных приближений с недостатком и с избытком для любого иррационального числа.
Виды чисел.
У нас есть числа натуральные, целые, рациональные и иррациональные, а также вещественные или действительные и еще есть другие, но в школьной программе в основном используют эти числа.
Натуральные числа ( N ) − это числа, используемые для счета предметов. Нуль не является натуральным числом.
Например: 1; 2; 3; 132; 168; 326; 548; 10050…
Целые числа ( Z ) — множество чисел, получающееся в результате арифметических операций сложения (+) и вычитания (−) натуральных чисел.
Например: …−3; −2; 1; 0; 548; 10050…
Рациональные числа ( Q ) – это положительные и отрицательные числа можно представить в виде обыкновенной несократимой дроби вида: 
где m−целое число (числитель), n – натуральное число (знаменатель).
Например: 
Иррациональные числа ( I ) − числа, которые не представимыми в виде дроби вида
Например: √2; √5; π; e
Вещественные (действительные) числа ( R ).
Рациональные числа и иррациональные числа образуют множество действительных чисел.
Изобразим это множество чисел в виде рисунка: 
Видно их вложенность друг в друга.
Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.
Рациональные и иррациональные числа. Множество действительных чисел
Понятие рационального числа
Примеры рациональных чисел:
Любое рациональное число представимо в виде конечной или периодической бесконечной десятичной дроби.
Алгоритм перевода десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь
Для смешанной периодической дроби – в знаменателе записать столько девяток, сколько цифр в периоде и справа дописать столько нулей, сколько цифр в дробной части до периода.
Шаг 3. Если необходимо, сократить полученную дробь
Чистые периодические дроби:
Смешанные периодические дроби:
Иррациональные числа
Примеры иррациональных чисел:
Множество иррациональных чисел не замкнуто относительно операции сложения.
Мера иррациональности действительного числа a – действительное число μ, которое показывает, насколько хорошо число a может быть приближено рациональными числами.
$μ(a) = 1 \iff a$ – рациональное число
Для многих трансцендентных чисел мера иррациональности неизвестна, есть только верхняя оценка.
Алгебраические и трансцендентные числа
Если действительное число является корнем уравнения вида
Алгебраические числа бывают рациональными и иррациональными.
Примеры трансцендентных чисел:$ π,2^<\sqrt2>, sin10^0, e^4$
Все трансцендентные числа иррациональны.
Т.е., трансцендентных чисел «больше», чем алгебраических. Их слишком много, чтобы можно было представить в виде последовательности.
Структура множества действительных чисел
Из-за несовпадения подмножеств, структуру множества действительных чисел можно представить двумя равносильными схемами:
Множество действительных чисел несчётно.
Множество действительных чисел замкнуто относительно операций сложения, вычитания, умножения и деления (исключая деление на 0).
В алгебре говорят, что действительные числа образуют непрерывное упорядоченное поле.
Примеры
Пример 1. Найдите рациональные дроби, равные данным бесконечным периодическим десятичным дробям:
Что такое Рациональные числа?
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Определение рациональных чисел
Рациональное число — это число, которое можно представить в виде положительной или отрицательной обыкновенной дроби или числа ноль. Если число можно получить делением двух целых чисел, то это число рациональное.
Рациональные числа — это те, которые можно представить в виде
где числитель m — целое число, а знаменатель n — натуральное число.
Рациональные числа – это все натуральные, целые числа, обыкновенные дроби, бесконечные периодические дроби и конечные десятичные дроби.
Множество рациональных чисел принято обозначать латинской буквой Q.
Примеры рациональных чисел:
Свойства рациональных чисел
У рациональных чисел есть определенные законы и ряд свойств — рассмотрим каждый их них. Пусть а, b и c — любые рациональные числа.
Кроме основных перечисленных есть еще ряд свойств:
Мы знаем, что 0 = d + (-d) для любого рационального d, значит a * 0 = a * (d + (-d)).
Распределительный закон позволяет переписать выражение:
Так получилась сумма двух противоположных чисел, которая в результате дает нуль, что доказывает равенство a * 0 = 0.
Определение иррационального числа
Иррациональное число — это действительное число, которое невозможно выразить в форме деления двух целых чисел, то есть в рациональной дроби
Оно может быть выражено в форме бесконечной непериодической десятичной дроби.
Бесконечная периодическая десятичная дробь — это такая дробь, десятичные знаки которой повторяются в виде группы цифр или одного и того же числа.
Обозначение множества иррациональных чисел: латинская буква I.
Действительные или вещественные числа — это все рациональные и иррациональные числа: положительные, отрицательные и нуль.
Свойства иррациональных чисел:
Различие между целыми, натуральными и рациональными числами
Натуральные числа — это числа, которые мы используем, чтобы посчитать что-то конкретное, осязаемое: один банан, две тетрадки, десять стульев.
А вот, что точно не является натуральным числом:
Целые числа — это натуральные числа, противоположные им и нуль.
Какие числа называются рациональными мы уже знаем из первой части статьи. Повторим еще раз.
Рациональные числа — это конечные дроби и бесконечные периодические дроби.
Например: 
Любое рациональное число можно представить в виде дроби, у которой числитель принадлежит целым числам, а знаменатель — натуральным. Поэтому во множество рациональных чисел входит множество целых и натуральных чисел.
Но не все числа можно назвать рациональными. Например, бесконечные непериодические дроби не принадлежат множеству рациональных чисел. Так √3 или 𝜋 (число пи) нельзя назвать рациональными числами.