Задача 10648 Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно.
Условие
Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости основания АВС.
а) Докажите, что высота пирамиды проведённая из точки А, делится плоскостью, проходящей через середины рёбер АВ, АС и SA, пополам.
Решение
а)Пусть М- середина ребра SA, К-середина ребра АС, Т-середина ребра АВ. Тогда МК- средняя линия треугольника SAC, MT- средняя линия треугольника SAB, КТ- средняя линия треугольника ABС. Так как треугольник SCB- равнобедренный (АС=АВ, равные проекции имеют равные наклонные), то высота пирамиды, проведенная из точки А проектируется на высоту равнобедренного треугольника SBC. Пусть SD- высота треугольника SBC, AD- высота треугольника АВС. Треугольники SAF и MAР подобны с коэффициентом подобия 2, значит плоскость МКТ делит высоту AF пополам. б) Из прямоугольного треугольника SAD: SA•AD/2=AF•SD/2 По теореме Пифагора АD^2=AC^2-CD^2=5^2-(√5)^2=25-5=20 AD=2√5 По теореме Пифагора SD^2=SA^2+AD^2=(√5)^2+(2√5)^2=5+20=25.
√5•(2√5)/2=AF•5/2 AF=2 АР=AF/2=1 О т в е т. AP=1
Почему AC=AB это в самом начале
По условию АВ = АС = 5
почему AD пересекается с SD в одной точке
Потому что две прямые пересекаются в одной точке. А если интересует перпендикулярность, то проводим SD перпендикулярно ВС, АD перпендикулярно ВС по теореме о трех перпендикулярах.
Ребро sa пирамиды sabc перпендикулярно плоскости основания abc докажите что высота пирамиды
Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости основания ABC.
а) Докажите, что высота пирамиды, проведённая из точки A, делится плоскостью, проходящей через середины рёбер AB, AC и SA, пополам.
б) Найдите расстояние от вершины A до этой плоскости, если AB = AC = 5,
б) Поскольку AB = AC, то треугольник ABC — равнобедренный. Имеем SC = SB, следовательно, треугольник SCB тоже равнобедренный. Зная, что SA ⊥ (ABC), имеем SA ⊥ AB. Тогда треугольники SAC и SAB равны по двум сторонам и углу между ними.
Так как AC = AB, AH ⊥ (CBS), следовательно, HC ⊥ AH, AH ⊥ HB, тогда HC = HB. Значит, точка H принадлежит серединному перпендикуляру к CB, то есть SK, так как SK — медиана, высота и биссектриса равнобедренного треугольника. Тогда AK — биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника ABC. По теореме Пифагора AK =
Поскольку SA ⊥ (ABC), SA ⊥ AK. Тогда по теореме Пифагора SK = 5. Имеем то есть SH = 1, следовательно, из треугольника SAH по теореме Пифагора AH = 2. Тогда искомое расстояние равно 1.
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
Ребро sa пирамиды sabc перпендикулярно плоскости основания abc докажите что высота пирамиды
Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости основания ABC.
а) Докажите, что высота пирамиды, проведённая из точки A, делится плоскостью, проходящей через середины рёбер AB, AC и SA, пополам.
б) Найдите расстояние от вершины A до этой плоскости, если AB = AC = 5,
а) Пусть AH — искомая высота. Проведем SK, Проведем AK. Поскольку T и N — середины AC и AB соответственно, то TN — средняя линия треугольника ABC. Тогда TN делит AK на две равные части. Поэтому MF — средняя линия треугольника SKA, она делит AH на две равные части.
б) Поскольку AB = AC, то треугольник ABC — равнобедренный. Имеем SC = SB, следовательно, треугольник SCB тоже равнобедренный. Зная, что SA ⊥ (ABC), имеем SA ⊥ AB. Тогда треугольники SAC и SAB равны по двум сторонам и углу между ними.
Так как AC = AB, AH ⊥ (CBS), следовательно, HC ⊥ AH, AH ⊥ HB, тогда HC = HB. Значит, точка H принадлежит серединному перпендикуляру к CB, то есть SK, так как SK — медиана, высота и биссектриса равнобедренного треугольника. Тогда AK — биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника ABC. По теореме Пифагора AK =
Поскольку SA ⊥ (ABC), SA ⊥ AK. Тогда по теореме Пифагора SK = 5. Имеем то есть SH = 1, следовательно, из треугольника SAH по теореме Пифагора AH = 2. Тогда искомое расстояние равно 1.
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
Ребро sa пирамиды sabc перпендикулярно плоскости основания abc докажите что высота пирамиды
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 4 и BC = 3. Длины боковых рёбер пирамиды
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.
а) Рассмотрим треугольник SAB, у которого стороны и Значения этих сторон удовлетворяют равенству следовательно, треугольник SAB прямоугольный, SA ⊥ AB.
Рассмотрим треугольник SAD со сторонами Длины сторон треугольника удовлетворяют равенству то есть он является прямоугольным, SA ⊥ AD.
Из перпендикулярности SA ⊥ AB и SA ⊥ AD следует, что SA ⊥ (ABC) и, следовательно, SA — высота пирамиды.
б) Из п а) кроме того, следовательно, Таким образом, проекцией SC на плоскость SAB будет прямая SB. Значит, нужно найти угол между прямыми SC и SB, то есть угол φ = ∠CSB.
Можно было бы найти косинусы углов DAS и BAS из треугольников DAS и BAS, применив по теорему косинусов. Оба косинуса равны нулю, из чего следует, что прямая SA перпендикулярна двух пересекающимся прямым DA и BA, лежащим в одной плоскости. Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая SA перпендикулярна плоскости основания, а ребро SA — высота пирамиды.
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
Ребро sa пирамиды sabc перпендикулярно плоскости основания abc докажите что высота пирамиды
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 4 и BC = 3. Длины боковых рёбер пирамиды
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.
а) Рассмотрим треугольник SAB, у которого стороны и Значения этих сторон удовлетворяют равенству следовательно, треугольник SAB прямоугольный, SA ⊥ AB.
Рассмотрим треугольник SAD со сторонами Длины сторон треугольника удовлетворяют равенству то есть он является прямоугольным, SA ⊥ AD.
Из перпендикулярности SA ⊥ AB и SA ⊥ AD следует, что SA ⊥ (ABC) и, следовательно, SA — высота пирамиды.
б) Из п а) кроме того, следовательно, Таким образом, проекцией SC на плоскость SAB будет прямая SB. Значит, нужно найти угол между прямыми SC и SB, то есть угол φ = ∠CSB.
Можно было бы найти косинусы углов DAS и BAS из треугольников DAS и BAS, применив по теорему косинусов. Оба косинуса равны нулю, из чего следует, что прямая SA перпендикулярна двух пересекающимся прямым DA и BA, лежащим в одной плоскости. Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая SA перпендикулярна плоскости основания, а ребро SA — высота пирамиды.
AB = AC = 5, 
AK — биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника ABC. По теореме Пифагора AK = 
то есть SH = 1, следовательно, из треугольника SAH по теореме Пифагора AH = 2. Тогда искомое расстояние равно 1.
Проведем AK. Поскольку T и N — середины AC и AB соответственно, то TN — средняя линия треугольника ABC. Тогда TN делит AK на две равные части. Поэтому MF — средняя линия треугольника SKA, она делит AH на две равные части.
и 
Значения этих сторон удовлетворяют равенству 
следовательно, треугольник SAB прямоугольный, SA ⊥ AB.
Длины сторон треугольника удовлетворяют равенству 
то есть он является прямоугольным, SA ⊥ AD.
кроме того, 
следовательно, 
Таким образом, проекцией SC на плоскость SAB будет прямая SB. Значит, нужно найти угол между прямыми SC и SB, то есть угол φ = ∠CSB.