С помощью теоремы чевы докажите что биссектрисы треугольника пересекаются в 1 точке

Теорема Чевы

Теорема Чевы 1

.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Перемножая равенства (2 – 5), получим

Доказательство необходимости завершено.

Воспользуемся методом «от противного». С этой целью обозначим буквой O точку пересечения отрезков AA₁ и CC₁ и предположим, что отрезок BB₁ не проходит через точку O (рис. 3).

Проведём через точку O отрезок BB₂ (рис. 4).

Поскольку отрезки AA₁, BB₂ и CC₁ пересекаются в одной точке, то выполнено равенство

(6)

Кроме того, выполнено равенство

(1)

Разделив равенство (6) на равенство (1), получим равенство

следствием которого является равенство

(7)

Из равенства (7) вытекает, что точки B₁ и B₂ совпадают.

Доказательство достаточности завершено.

Теорема Чевы 2

.

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

Перемножая равенства (9 – 12), получим

Доказательство необходимости в случае «а» завершено.

(13)

(14)

Поскольку четырёхугольники ADBB₁ и BECB₁ параллелограммы, то выполнено равенство

откуда вытекает равенство

(15)

Перемножая равенства (13 – 15), получим

Доказательство необходимости в случае «b» завершено.

Применения теоремы Чевы

В разделе нашего справочника «Медиана треугольника» доказана теорема о том, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Приведём другое доказательство этой теоремы, основанное на теореме Чевы. С этой целью рассмотрим медианы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC (рис.9).

то выполнено равенство

,

откуда вытекает, что отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Теорема доказана.

В разделе нашего справочника «Окружность, вписанная в треугольник» доказана теорема о том, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Приведём другое доказательство этой теоремы, основанное на теореме Чевы. С этой целью рассмотрим биссектрисы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC (рис.10).

В соответствии со свойством биссектрисы справедливы равенства

Если перемножить эти три равенства, то мы получим равенство

,

из которого вытекает, что отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Теорема доказана.

В разделе нашего справочника «Высота треугольника» доказана теорема о том, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Приведём другое доказательство этой теоремы, основанное на теореме Чевы. С этой целью рассмотрим сначала высоты AA₁, BB₁ и CC₁ остроугольного треугольника ABC (рис.11).

то, перемножив эти три равенства, мы получим равенство

,

из которого вытекает, что отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Теорема о пересечении высот остроугольного треугольника доказана.

Теперь рассмотрим случай тупоугольного треугольника (рис. 12).

то, перемножив эти три равенства, мы получим равенство

,

из которого вытекает, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Теорема о пересечении высот тупоугольного треугольника доказана.

Доказывать теорему о том, что в случае прямоугольного треугольника все высоты пересекаются в одной точке не нужно, поскольку все высоты прямоугольного треугольника пересекаются в вершине прямого угла.

Теорема о пересечении высот треугольника доказана полностью.

Теперь с помощью теоремы Чевы докажем следующую теорему.

Из этих равенств получаем:

Отсюда с помощью теоремы Чевы заключаем, что отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Теорема доказана.

Источник

Теорема Чевы: формулировка и пример с решением

В данной публикации мы рассмотрим одну из классических теорем аффинной геометрии – теорему Чевы, которая получила такое название в честь итальянского инженера Джованни Чевы. Также разберем пример решения задачи, чтобы закрепить представленный материал.

Формулировка теоремы

Дан треугольник ABC, в котором каждая вершина соединена с точкой на противоположной стороне.

Таким образом, мы получаем три отрезка (AA’, BB’ и CC’), которые называются чевианами.

Данные отрезки пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется следующее равенство:

Теорему можно, также, представить в таком виде (определяется, в каком соотношении точки делят стороны):

Тригонометрическая теорема Чевы

Примечание: все углы – ориентированные.

Пример задачи

Дан треугольник ABC с точками A’, B’ и C’ на сторонах BC, AC и AB, соответственно. Вершины треугольника соединены с данным точками, и образованные отрезки проходят через одну точку. При этом точки A’ и B’ взяты на серединах соответствующих противоположных сторон. Выясните, в каком соотношении точка C’ делит сторону AB.

Решение
Нарисуем чертеж согласно условиям задачи. Для нашего удобства примем следующие обозначения:

Остается только составить соотношение отрезков согласно теореме Чевы и подставить в него принятые обозначения:

После сокращения дробей получаем:

Значит, AC’ = C’B, т.е. точка C’ делит сторону AB пополам.

Следовательно, в нашем треугольнике отрезки AA’, BB’ и CC’ являются медианами. Решив задачу мы доказали, что они пересекаются в одной точке (справедливо для любого треугольника).

Примечание: с помощью теоремы Чевы можно доказать, что в треугольнике в одной точке, также, пересекаются биссектрисы или высоты.

Источник

Обобщающий урок «Теоремы Менелая и Чевы»

Разделы: Математика

Оборудование: мультимедийный проектор. Приложение 1.

1. Организационный момент.

Точка С₁ делит сторону АВ треугольника АВС в отношении 2 : 1. точка В₁ лежит на продолжении стороны АС за точку С, и АС = СВ₁. В каком отношении делит прямая В₁ С₁ сторону ВС? (на слайде 2).

Решение: По условиюИспользуя теорему Менелая, находим: .

В треугольнике АВС АD – медиана, точка О – середина медианы. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке К.

В каком отношении точка К делит АС, считая от точки А? (на слайде 3).

В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NС = 3ВN; на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА = АС. Прямая МN пересекает сторону АВ в точке F. Найдите отношение . (на слайде 4).

Решение: По условию задачи МА = АС, NС = 3 ВN. Пусть МА = АС = b, BN = k, NC = 3k. Прямая МN пересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей. По теореме Менелая

На стороне PQ треугольника PQR взята точка N, а на стороне РR – точка L, причем NQ = LR. Точка пересечения отрезков QL и NR делит QR в отношении m : n, считая от точки Q. Найдите PN : PR. (на слайде 5).

Решение: По условию NQ = LR, . Пусть NA = LR = a, QF =km, LF = kn. Прямая NR пересекает две стороны треугольника PQL и продолжение третьей. По теореме Менелая

3. Отработка практических навыков.

Докажите теорему: Медианы треугольника пересекаются в одной точке; точка пересечения делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины. (рисунок 1 слайд 6).

Доказательство: Пусть АМ₁, ВМ₂, СМ₃ – медианы треугольника АВС. Чтобы доказать, что эти отрезки пересекаются в одной точке, достаточно показать, что Тогда по теореме Чевы (обратной) отрезки АМ₁, ВМ₂ и СМ₃ пересекаются в одной точке. Имеем:

Итак, доказано, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Пусть О – точка пересечения медиан. Прямая М₃С пересекает две стороны треугольника АВМ₂ и продолжение третьей стороны этого треугольника. По теореме Менелая

или .

Рассматривая теорему Менелая для треугольников АМ₁С и АМ₂С, мы получаем, что

. Теорема доказана.

Докажите теорему: Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. (рисунок 2 слайд 6).

Доказательство: Достаточно показать, что . Тогда по теореме Чевы (обратной) AL_1, BL_2, CL₃ пересекаются в одной точке. По свойству биссектрис треугольника:

. Перемножая почленно полученные равенства, получаем: . Итак, для биссектрис треугольника равенство Чевы выполняется, следовательно, они пересекаются в одной точке. Теорема доказана.

Докажите теорему: Высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке. (рисунок 3 слайд 6).

Доказательство: Пусть АН₁, АН_2, АН₃ – высоты треугольника АВС со сторонами a, b, c. Из прямоугольных треугольников АВН₂ и ВСН₂ по теореме Пифагора выразим, соответственно, квадрат общего катета ВН₂, обозначив АН₂ = х, СН₂ = b – х.

Итак, АН₂ = , СН₂ = .

Аналогично рассуждая для прямоугольных треугольников АСН₂ и ВСН₃, ВАН₁ и САН₁, получим АН₃ = , ВН₃ = и ВН₁ = ,

СН₁ = .

Для доказательства теоремы достаточно показать, что . Тогда по теореме Чевы (обратной) отрезки АН₁, ВН₂ и СН₃ пересекаются в одной точке. Подставив в левую часть равенства выражения длин отрезков АН₃, ВН₃, ВН₁, СН₁, СН₂ и АН₂ через а, b, с, убеждаемся, что равенство Чевы для высот треугольника выполняется. Теорема доказана.

Задачи 5 – 7 самостоятельное решение 3 учащихся. (чертежи на экране).

2. остальные:

Докажите теорему: Если в треугольник вписана окружность, то отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон пересекаются в одной точке. (на рисунке 4 слайд 6).

Доказательство: Пусть А₁, В₁ и С₁ – точки касания вписанной окружности треугольника АВС. Для того, чтобы доказать, что отрезки АА₁, ВВ₁ и СС₁ пересекаются в одной точке, достаточно показать, что выполняется равенство Чевы:

. Используя свойство касательных, проведенных из одной точки, введем обозначения: ВС₁ = ВА₁ = х, СА₁ = СВ₁ = у, АВ₁ = АС₁ = z.

. Равенство Чевы выполняется, значит, указанные отрезки (биссектрисы треугольника) пересекаются в одной точке. Эту точку называют точкой Жергона. Теорема доказана.

3. Разбор задач 5, 6, 7.

Пусть АD – медиана треугольника АВС. На стороне АD взята точка К так, что АК : КD = 3 : 1. Прямая ВК разбивает треугольник АВС на два. Найдите отношение площадей этих треугольников. (на слайде 7 рисунок 1)

Решение: Пусть АD = DC = a, KD = m, тогда АК = 3m. Пусть Р – точка пересечения прямой ВК со стороной АС. Необходимо найти отношение . Так как треугольники АВР и РВС имеют равные высоты, проведенные из вершины В, то = . По теореме Менелая для треугольника ADC и секущей РВ имеем: . Итак, = .

В треугольнике АВС, описанном около окружности, АВ = 8, ВС = 5, АС = 4. А₁ и С₁ – точки касания, принадлежащие соответственно сторонам ВС и ВА. Р – точка пересечения отрезков АА₁ и СС₁. Точка Р лежит на биссектрисе ВВ₁. Найдите АР : РА₁.

(на слайде 7 рисунок 2)

Решение: Точка касания окружности со стороной АС не совпадает с В₁, так как треугольник АВС – разносторонний. Пусть С₁В = х, тогда, используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения (см рисунок) 8 – х + 5 – х = 4, х = .

В треугольнике АВА₁ прямая С₁С пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая .

Стороны треугольника 5, 6 и 7. Найдите отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла этого треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник. (на слайде 7).

Решение: Пусть в треугольнике АВС АВ = 5, ВС = 7, АС = 6. Угол ВАС лежит против большей стороны в треугольнике АВС, значит, угол ВАС – больший угол треугольника. Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении биссектрис. Пусть О – точка пересечения биссектрис. Необходимо найти АО : ОD. Так как АD – биссектриса треугольника АВС, то , то есть BD = 5k, DС = 6k. так как BF – биссектриса треугольника АВС, то , то есть AF = 5m, FC = 7m. Прямая BF пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника ADC. По теореме Менелая .

4. Самостоятельное решение задач 9, 10, 11. – 3 учащихся.

Задача 12 (для всех оставшихся учащихся класса):

Биссектрисы ВЕ и АD треугольника АВС пересекаются в точке Q. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника BQD = 1, 2АС = 3 АВ, 3ВС = 4 АВ. (рисунок 4 на слайде 7).

Треугольники АВС и ВЕС имеют равные высоты, проведенные из вершины В, значит, , тогда S_ABC = _.

5. Разбор задач 9, 10, 11.

Решение задач – практикум:

А. На сторонах ВС, СА, АВ равнобедренного треугольника АВС с основанием АВ взяты точки А_1, В₁, С_1, так что прямые АА₁, ВВ₁, СС₁ – конкурентные.

Докажите, что

По теореме Чевы имеем: (1 ).

.

Что и требовалось доказать.

По теореме Менелая для треугольника АВС и секущей MN имеем:

. По условию следовательно ,

Для треугольника MNC и секущей АВ по теореме Менелая имеем: по условию

8. Самостоятельное решение задач: 1 вариант:

1. На продолжениях сторон АВ, ВС, АС треугольника АВС взяты соответственно точки С₁, А₁, В₁ так, что АВ = ВС₁, ВС = СА₁, СА = АВ₁. Найдите отношение в котором прямая АВ₁ делит сторону А₁С₁ треугольника А₁В₁С₁. (3 балла).

2. На медиане СС₁ треугольника АВС взята точка М. Прямые АМ и ВМ пересекают стороны треугольника соответственно в точках А₁ и В₁. Докажите, что прямые АВ и А₁В₁ параллельны. (3 балла).

3. Пусть на продолжении сторон АВ, ВС и АС треугольника АВС взяты соответственно точки С₁, А₁ и В_1. Докажите, что точки А₁, В_1, С₁ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство . (4 балла).

4. Используя теорему Чевы, докажите, что высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке. (4 балла).

5. Докажите, что прямые, проходящие через вершины треугольника и точки касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке (точке Нагеля). (Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается одной стороны этого треугольника и продолжений двух других его сторон). (5 баллов).

6. Пусть на сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС взяты соответственно точки С₁, А₁ и В₁ так, что прямые АА₁, ВВ₁, СС₁ пересекаются в точке О. Докажите, что выполняется равенство . (5 баллов).

7. Пусть на ребрах АВ, ВС, СD и АD тетраэдра АВСD взяты соответственно точки А₁, В₁, С₁, D_1. Докажите, что точки А₁, В₁, С₁, D₁ лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда выполняется равенство (5 баллов).

1. Точки А₁ и В₁ делят стороны ВС и АС треугольника АВС в отношениях 2 : 1 и 1 : 2. Прямые АА₁ и ВВ₁ пересекаются в точке О. Площадь треугольника АВС равна 1. Найдите площадь треугольника ОВС. (3 балла).

2. Отрезок МN, соединяющий середины сторон АD и ВС четырехугольника АВСD делится диагоналями на три равные части. Докажите, что АВСD – трапеция, одно из оснований АВ или СD, которое в двое больше другого. (3 балла).

3. Пусть на стороне АВ и продолжении сторон ВС и АС треугольника АВС взяты соответственно точки С₁, А₁ и В₁. Докажите, что прямые АА₁, ВВ₁, СС₁ пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда выполняется равенство . (4 балла).

4. Используя теорему Чевы, докажите, что высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке. (4 балла).

5. Докажите, что прямые, проходящие через вершины треугольника и точки касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке (точке Нагеля). (Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается одной стороны этого треугольника и продолжений двух других его сторон). (5 баллов).

6. Пусть на сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС взяты соответственно точки С₁, А₁, В₁ так, что прямые АА₁, ВВ₁ и СС₁ пересекаются в точке О. Докажите, что выполняется равенство . (5 баллов).

7. Пусть на ребрах АВ, ВС, СD и АD тетраэдра АВСD взяты соответственно точки А₁, В₁, С₁, D_1. Докажите, что точки А₁, В₁, С₁, D₁ лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда выполняется равенство (5 баллов).

9. Домашнее задание: учебник § 3, № 855, № 861, № 859.

Источник