в истории развития математики выделяют 4 периода 2 период развития характеризуется

Презентация » Периоды развития математики «

Описание презентации по отдельным слайдам:

МАТЕМАТИКА (греч. mathematike, от mathema — знание, наука) – наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

ПЕРИОДЫ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИКИ Период зарождения математики Период элементарной математики (6-5 вв. до н.э. – 17 в. н.э.) Период математики переменных величин (17-18 вв.) Период современной математики (с 19 в. до наших дней)

Счёт предметов на самых ранних ступенях развития культуры привёл к созданию простейших понятий арифметики натуральных чисел. Возникают письменные системы счисления и постепенно вырабатываются приёмы выполнения над натуральными числами четырёх арифметических действий (из которых только деление еще долго представляло большие трудности).

Потребности измерения (количества зерна, длины дороги и т. п.) приводят к появлению названий и обозначений простейших дробных чисел и к разработке приёмов выполнения арифметических действий над дробями. Таким образом, накапливается материал, складывающийся постепенно в древнейшую математическую науку — арифметику.

Возникает математика как самостоятельная наука с ясным пониманием своеобразия её метода и необходимости систематического развития ее основных понятий и предложений в достаточно общей форме. Из арифметики постепенно вырастает теория чисел. Создаётся систематическое учение о величинах и измерении. Период элементарной математики заканчивается, когда центр тяжести математических интересов переносится в область математики переменных величин.

На первый план выдвигается понятие функции, играющее в дальнейшем такую же роль основного и самостоятельного предмета изучения, как ранее понятия величины или числа. Изучение переменных величин и функциональных зависимостей приводит далее к основным понятиям математического анализа, вводящим в математике в явном виде идею бесконечного, к понятиям предела, производной, дифференциала и интеграла, созданию аналитический геометрии. Наряду с уравнениями, в которых неизвестными являются числа, появляются уравнения, в которых неизвестны и подлежат определению функции.

Сложился стандарт требований к логической строгости, остающийся и до настоящего времени господствующим в практической работе математиков над развитием отдельных математических теорий. Теория множеств, успешное построение большинства математических теорий на основе теоретико-множественной аксиоматики и успехи математической логики (с входящей в нее теорией алгоритмов) являются весьма важными предпосылками для разрешения многих философских проблем современной математики. Геометрия переходит к исследованию «пространств», весьма частным случаем которых является евклидово пространство.

Стремление упростить и ускорить решение ряда трудоемких вычислительных задач привело к созданию вычислительных машин.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Интересный исторический материал пригодится для внеклассной работы, проведения предметной недели, для расширения математических знаний учащихся.

Самой древней математической деятельностью был счет. Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю. Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов, сопоставляя им различные части тела, главным образом пальцы рук и ног. Наскальный рисунок, сохранившийся до наших времен от каменного века, изображает число 35 в виде серии выстроенных в ряд 35 палочек-пальцев. Первыми существенными успехами в арифметике стали концептуализация числа и изобретение четырех основных действий: сложения, вычитания, умножения и деления. Первые достижения геометрии связаны с такими простыми понятиями, как прямая и окружность. Дальнейшее развитие математики началось примерно в 3000 до н.э. благодаря вавилонянам и египтянам.

Академик А.Н. Колмогоров выделяет четыре периода развития математики: зарождения математики, элементарной математики, математики переменных величин, современной математики.

Источник

Конспект «История развития математики»

История развития математики

С точки зрения выдающегося советского математика академика Андрея Николаевича Колмогорова, история развития математического знания распадается на четыре этапа:

период зарождения математики (примерно до VI – V вв. до н.э.), на протяжении которого был накоплен достаточно большой фактический материал;

период элементарной математики, начинающийся в VI–V вв. до н.э. и завершающийся в конце XVI в. («Запас понятий, с которыми имела дело математика до начала XVII в., составляет и до настоящего времени основу «элементарной математики», преподаваемой в начальной и средней школе»;

охватывающий XVII-XVIII вв. период математики переменных величин, «который можно условно назвать также периодом «высшей математики»;

период современной математики – математики XIX-XX I вв., в ходе которого математикам пришлось «отнестись к процессу расширения предмета математических исследований сознательно, поставив перед собой задачу систематического изучения с достаточно общей точки зрения возможных типов количественных отношений и пространственных форм».

1. Зарождение математики. Уже на самых ранних ступенях развития цивилизации необходимость счета общеупотребимых предметов привела к созданию простейших понятий арифметики натуральных чисел. Затем постепенно вырабатываются приемы выполнения простейших арифметических действий над натуральными числами, возникают системы счисления.

Вавилон. В 1849-1850 гг. в развалинах древнего города Ниневия была найдена древнейшая библиотека. Выяснилось, что почти за 2000 лет до н.э. были составлены таблицы умножения, квадратов последовательных целых чисел. Для решения квадратных уравнений народы Месопотамии разработали систему действий, эквивалентную современной формуле. Но не были найдены рассуждения, приведшие к используемому алгоритму, т. е. математику Древнего Вавилона можно было назвать рецептурной.

Следы вавилонской нумерации сохранились до сих пор: 1 час = 60 минут, 1 минута = 60 секунд; аналогично при делении окружности на градусы, минуты, секунды. Такая традиция пришла из астрономии. Вавилоняне проводили систематические наблюдения за звездным небом, составляли календарь, вычисляли периоды обращения Луны и всех планет, могли предсказывать солнечные и лунные затмения. Эти знания астрономии впоследствии перешли к грекам, которые вместе с астрономическими таблицами заимствовали и шестидесятеричную нумерацию.

Египет. Сохранившиеся древнейшие математические тексты Древнего Египта, относящиеся к началу 2-го тыс. до н. э., состоят из примеров решения отдельных задач или рецептов для их решения, которые иногда удаётся понять, лишь анализируя числовые данные в текстах. Эти решения часто сопровождаются проверкой ответа. Математическая теория в смысле системы взаимосвязанных и доказываемых общих теорем вовсе не существовала. Об этом свидетельствует, например, то, что точные решения употреблялись без всякого отличия от приближённых. Тем не менее, запас установленных математических фактов был, в соответствии с высокой строительной техникой, сложностью земельных отношений, потребностью в точном календаре и т. п., довольно велик. Египтяне создали своеобразный и довольно сложный аппарат действий с дробями, требовавший специальных вспомогательных таблиц.

Геометрия сводилась к правилам вычисления площадей и объёмов. Правильно вычислялись площади треугольника и трапеции, объёмы параллелепипеда и пирамиды с квадратным основанием. Наивысшим известным нам достижением египтян в этом направлении явилось открытие способа вычисления объёма усечённой пирамиды с квадратным основанием.

Появляются первые попытки анализа роли и значения математики в научном познании. Так, например, пифагорейцы считали число основой и началом всего существующего. Они полагали, что задача научного познания состоит в нахождении в вещах внешнего мира закономерностей, присущих числам. На позициях математизации действительности стоял также греческий философ Платон. По его мнению, математические формы являются строительными кирпичиками Вселенной.

Родоначальником применения математики для изучения природных явлений был Архимед, достижения которого в исследованиях механики и физики (архимедов винт, метательные машины, исследования о равновесии и устойчивости плавающих тел) сочетались с прозорливостью в области математики. Его труды – яркий образец развития прикладных математических знаний в древности. В сочинениях Архимеда мы находим также зачатки применения метода интегральных сумм при решении практических задач. Архимед сформулировал и доказал теорему о сумме квадратов членов арифметической прогрессии. Основной заслугой Архимеда в геометрии явилось определение разнообразных площадей, объёмов и центров тяжести (шара, параболоида и их сегментов и т.д.); архимедова спираль является лишь одним из примеров изучавшихся в III в. до н. э. трансцендентных кривых.

Для математики поздней античности характерно выдвижение на первое место практических вычислительных методов и задач. Это свойственно работам Герона, Птоломея.

Математика в Западной и Центральной Европе стала на путь самостоятельного развития только с наступлением эпохи Возрождения в XVI в. Так, итальянцы Н. Тарталья (ок. 1530) и Л. Феррари (1545) решили в общем виде кубические уравнения и уравнения четвертой степени. В этот же период впервые начинают оперировать с мнимыми числами (Дж. Кардано, Р. Бомбелли). Складывается алгебраическое буквенное исчисление (Виет, 1591г.). В Англии Непер изобрел логарифмы как средство для астрономических вычислений (1614г.), Бриг составил первые таблицы логарифмов. Тогда же в Европе появляется и общая формула бинома Ньютона и т.д.

Математическое образование в России находилось в IX — XIII вв. на уровне наиболее культурных европейских стран. Затем оно было надолго задержано монгольским нашествием. Наиболее древнее, известное нам математическое исследование относится к 1130г. и принадлежит новгородскому монаху Кирику. Оно посвящено арифметико-хронологическим расчётам, которые показывают, что в то время на Руси умели решать сложную задачу вычисления пасхалий (определения на каждый год дня наступления праздника пасхи), сводящуюся в своей математической части к решению в целых числах неопределённых уравнений первой степени.

Период элементарной математики заканчивается в Западной Европе в начале XVII в., когда центр тяжести математических интересов переносится в область математики переменных величин.

Вслед за Ньютоном и Лейбницем в области анализа и его приложений большую роль сыграли братья Бернулли, Эйлер, Лагранж, Лаплас и другие крупные математики того времени.

4. Современная математика. Все созданные в XVII и XVIII вв. разделы математического анализа продолжали с большой интенсивностью развиваться в XIХ и XХ вв. Чрезвычайно расширился за это время и круг их применения к задачам, выдвигаемым естествознанием и техникой. Однако помимо этого количественного роста, с конца XVIII и в начале XIХ вв. в развитии математики наблюдается и ряд существенно новых черт.

В деле обоснования анализа и уточнения его основных понятий важную роль сыграла созданная немецким математиком Г. Кантором (1845-1918) теория множеств.

Таким образом, в результате как внутренних потребностей математики, так и новых запросов естествознания круг количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, чрезвычайно расширяется; в него входят отношения, существующие между множествами, элементами произвольной группы, векторами, операторами в функциональных пространствах, все разнообразие форм пространств любого числа измерений и т. п.

Существенная новизна начавшегося в ХIХ в. этапа развития математики состоит в том, что вопросы необходимого расширения круга подлежащих изучению количественных отношений и пространственных форм становятся предметом сознательного и активного интереса математиков. Если прежде, например, введение в употребление отрицательных и комплексных чисел и точная формулировка правил действий с ними требовали длительной работы, то теперь развитие математики потребовало выработки приемов сознательного и планомерного создания новых геометрических и алгебраических систем.

В начале ХIХ в. происходит новое значительное расширение области приложений математического анализа. Если до этого времени основными разделами физики, требовавшими большого математического аппарата, оставались механика и оптика, то теперь к ним присоединяются электродинамика, теория магнетизма и термодинамика. Получает широкое развитие механика непрерывных сред. Быстро растут и математические запросы техники. В качестве основного аппарата новых областей механики и математической физики усиленно разрабатываются теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теория дифференциальных уравнений с частными производными и уравнений математической физики.

Существенным дополнением к методам дифференциальных уравнений при изучении природы и решении технических задач являются методы теории вероятностей. Если в начале ХIХ в. главными потребителями вероятностных методов были теория артиллерийской стрельбы и теория ошибок, то в концу ХIХ и в начале ХХ вв. теория вероятностей получает много новых применений благодаря созданию теории случайных процессов и развитию аппарата математической статистики.

Теория чисел, представлявшая собрание отдельных результатов и идей, с ХIХ в. развивалась в различных направлениях как стройная теория.

Элементарная и проективная геометрия привлекают внимание математиков главным образом под углом зрения изучения их логических и аксиоматических основ. Но основными отделами геометрии, где сосредотачиваются наиболее значительные научные силы, становятся дифференциальная геометрия, алгебраическая геометрия, риманова геометрия.

Практическое использование результатов теоретического математического исследования требует получения ответа на поставленную задачу в числовой форме. Между тем даже после исчерпывающего теоретического разбора задачи это часто оказывается весьма трудным делом. Зародившиеся в конце ХIХ и в начале ХХ вв. численные методы анализа и алгебры выросли в связи с созданием и использованием ЭВМ в самостоятельную ветвь математики – вычислительную математику. Выдающееся значение для создания кибернетики и современной вычислительной математики имели труды Н.Винера, К Шеннона, Дж. Неймана, русских и советских математиков А.М. Ляпунова, А.Я. Хинчина, А.Н. Колмогорова и др.

Данный краткий обзор истории развития математических идей и методов и их приложений позволяет сделать следующие обобщения и выводы.

Прежде всего, можно заметить, что в ходе исторического развития происходило постоянное расширение предмета исследования математики, создавались новые понятия, возрастал интерес к анализу основ, взаимозависимостей, способов доказательств.

Второй важный вывод состоит в том, что современная математика переходит от изучения только «пространственных форм и количественных отношений действительного мира» к исследованию скоплений абстрактных математических структур. Уровень абстракции предмета изучения постоянно возрастает.

В ходе развития математики и ее приложений постепенно расширяется их взаимосвязь с практической жизнью и потребностями других наук. Этот процесс развивается в двух направлениях: с одной стороны, усиливается влияние практической жизни и других наук (главным образом естественных) на развитие математики, с другой — расширяется сфера приложений математики, ее средств и методов в различных областях науки и техники. Эти две стороны связи математики с общественной жизнью и с другими науками всегда взаимообусловлены.

Источник

Периоды развития математики

Первый период (период зарождения математики), истоки которого теряются в глубине веков, продолжался до VI—V вв. до н.э. В то время проходил процесс накопления человеком математического знания, создавались приемы счета, устная и письменная нумерация, системы счисления. Так как такая «рецептурная» арифметика и геометрия необходимы были для простейшего счета хозяйственных предметов и измерения земельных площадей, то говорить о математике как науке в тот период нет достаточных оснований.

Во второй период (период элементарной математики), длившийся с VI—V вв. до н. э. по XVI в. включительно, осуществлялась систематизация накопленных математических знаний и разработка методов доказательства. Представители греческой математической культуры (Фалес, Пифагор, Платон, Аристотель и др.) характеризовались более рациональным складом мышления по сравнению с их предшественниками из стран Древнего Востока. В творчестве Евклида (III в. до н. э.) эта особенность еще более усиливается. Его система, изложенная в «Началах», была исторически первой математической (точнее, геометрической) системой, определившей создание соответствующего стиля мышления. Она знаменовала собой первую интенсивную революцию в математике, качественную перестройку и упорядочение накопленного математического знания.

Логические средства, которые применил Евклид, — это формальная логика Аристотеля. Его образец мышления, построенный по схеме «определения — аксиомы — теоремы», получил отражение в творчестве многих поколений ученых, но прежде всего в исследованиях Архимеда, Аполлония, Менелая, Птолемея, Диофанта.

Во второй период развития математики формируются тригонометрия и алгебра, расширяется понятие числа, устанавливаются связи между арифметикой и геометрией. Математика выделяется в самостоятельную науку, предметом которой являются операции с постоянными величинами (числами, геометрическими фигурами). Правда, здесь следует помнить, что уже в греческой математике имелись примеры изучения связей между переменными величинами (зависимость площади круга от его радиуса, синус угла, применение в неявном виде понятия предела при определении длины окружности и т. п.).

Идея движения, вошедшая в математику, позволила следующим образом определить ее предмет в третьем периоде: математика есть наука об изменениях величин и геометрических преобразованиях.

К концу третьего периода (середина XIX в.) достаточно богатыми были алгебраические теории (возникает алгебра логики, линейная алгебра, топологическая алгебра, дифференциальная алгебра и т. п.), теория чисел, теория дифференциальных уравнений, вариационное исчисление, теория функций действительного переменного и др. В изменении стиля математического мышления было «повинно» определенное противопоставление «чистой» (теоретической) и «прикладной» математики. Формулы и математические преобразования (выкладки) часто уступали место непосредственному рассуждению. Нарождалась так называемая «математика понятий», и французский математик Э. Галуа (1811—1832) явился одним из первых и наиболее блестящих ее представителей, с именем которого связаны исследования о разрешимости уравнений произвольной степени. Рассматривая уравнение, которое необходимо было решить, он связывал с ним некоторую группу операций и доказывал, что свойства уравнения отражаются на особенностях данной группы. Так как различные уравнения могут иметь одну и ту же группу, достаточно вместо этих уравнений рассмотреть соответствующую им группу. Это открытие ознаменовало начало современного этапа развития математики.

В этот период формируется и современное представление о математической строгости, а на мировой арене появляются русские математики — Н.И. Лобачевский (1792—1856), М.В. Остроградский (1801-1862), В.Я. Буняковский (1804-1889), П.Л. Чебышев (1821— 1894), Я.М. Ляпунов (1911-1973), А.А. Марков (1903-1979) и др.

Таким образом, с середины XIX в. можно говорить о четвертом периоде развития математики — периоде современной математики. Он характеризуется созданием новых областей и теорий математики: неевклидовой геометрии, топологии; теории групп, векторного и тензорного исчислений, функционального анализа, теории множеств.

Характерные черты современной математики:

♦ восхождение ко все более высоким степеням абстракции и идеализации;

♦ доминирующий структурный подход к пониманию предмета математики, аксиоматическое построение теорий, усиление геометрических методов исследования;

♦ интенсивный процесс расширения предмета исследования в науке;

♦ глубокая диалектическая связь между фундаментальными разделами и теориями математики;

♦ возникновение новых средств вычислений, методов исследования и доказательства;

♦ развитие знаковой символики и средств оперирования специальными математическими знаками;

♦ компьютеризация математики, то есть процессы, происходящие в науке под воздействием внедрения и использования ЭВМ;

♦ изучение математических объектов вместе с отображениями этих объектов друг в друге;

♦ исследование математических систем путем выявления в них различного рода математических структур;

♦ высокая эффективность (почти универсальность) применения аппарата и методов математики в естественных, технических и гуманитарных науках.

X. Патнэм в работе «Разум, истина и история» дает краткий перечень традиционных и современных взглядов в философии математики:

Патнэм полагает, что следует отказаться от первых четырех направлений и продолжать исследования, которые представляют собой определенную смесь последних четырех направлений. Другие исследователи считают перспективными направления, которые в той или иной степени пересекаются с этими последними, но в некотором смысле (в другой классификации) являются самостоятельными. Так, Дж. Кетланд говорит о дополнении списка Патнэма еще тремя направлениями, полагая при этом, что в целом этот список покрывает все направления в философии математики:

Само многообразие направлений не должно вызывать удивления, поскольку это довольно распространенное явление в современной аналитической философии.

Источник

§ 2 Основные периоды развития математики

Существуют различные периодизации истории математики. Наиболее убедительной является та, которую разработал академик А.Н. Колмогоров (БСЭ, изд. 2-е, т. 26, статья « Математика»). В своей периодизации он исходил не из общественно-экономических формаций, а из характера ведущих проблем математики А.Н.Колмогоров делит историю математики на четыре периода.

1.Начальный период, или период зарождения математики. Он продолжался со времени появления человека разумного (около 100000 лет назад) примерно, если ограничится странами Западной Европы, по VII в. до н.э.

2.Переиод элементарной математики, или математики постоянных величин. В Западной Европе он охватывает время VI в. до н. э. по XVI в. н.э.

3.Период математики переменных величин. В Западной Европе он приходится на XVII-XVIII вв. и начало XIX века.

4. Период современной математики. Он охватывает XIX-XX вв.

Рассмотрим математику каждого из периодов подробнее.

I. К начальному периоду относятся математические знания первобытных людей и математика в ранних рабовладельческих государствах: Египте, Вавилоне и др.

С переходом к рабовладельческому строю устная система счисления сменяется письменной, а измерять приходится еще площади и объемы в связи с потребностями земледелия и ремесел.

В целом в начальный период человечество накапливает значительный фактический материал по арифметике (положительных рациональных чисел) и геометрии. Доказательства правил, например, правил вычисления площадей и объемов, в явном виде отсутствуют.

II. В начале второго периода ведущее место в математике занимает древняя Греция, где геометрия впервые строится на дедуктивной основе и в систематизированном виде. Крупнейшими математиками древней Греции были Пифагор, Евклид, Архимед, Аполлоний и др. Позднее, в IV-VI вв. н. э., с переходом к эпохе феодализма центр математической науки перемещается на восток – в Индию, Китай, арабские страны. В Индии впервые появляются десятичная позиционная система счисления и начала тригонометрии. В арабских странах, а позднее в Западной Европе складывается элементарная алгебра как наука об уравнениях. Западная Европа становится центром математической науки лишь в XVI в. н.э.

Во втором периоде строится элементарная математика, в основном, в той ее части, которая рассматривает лишь постоянные величины.

III. ВXVII-XVIIIвв.в Западной Европе утверждается капитализм. Происходят буржуазные революции в Нидерландах, Англии, Франции. Развитие капиталистического производства ставит многочисленные новые задачи перед техникой, механикой, физикой и другими науками, а техника и эти науки ставят соответствующие новые задачи перед математикой. Создаются основы математического анализа, пока что в объеме дифференциального и интегрального исчисления. Закладываются основы аналитической геометрии, что прямо связано с развитием математического анализа. Кроме того, создаются основы теории чисел, появляются теория вероятностей, начертательная и проективная геометрия.

Крупнейшие математики третьего периода – И. Ньютон, Г. Лейбниц, П. Ферма, Р. Декарт, Л. Эйлер, Ж. Лагранж, Г. Монж и др.

IV. В четвертом периоде математика развивалась по нескольким направлениям

а) Появляются новые области математики: в XIX в. – неевклидовы геометрии, математическая логика, теория функций комплексной переменной, теория множеств и др.; в ХХ в. – теория функций действительной переменной, топология, функциональный анализ, исследование операций и др. Важную роль для математики сыграло появление в ХХ в. ЭВМ; в частности, с помощью ЭВМ было найдено решение нескольких крупных математических проблем.

б) Усиливается строгость доказательств во всей математике, в том числе и в старых ее областях; в первую очередь, в математическом анализе, затем в алгебре и геометрии.

в) Со сказанным выше связано появление в математике аксиоматического метода, сначала в геометрии, потом – в учении о числе, общей топологии, теории вероятности и др.

г) Расширяются применения математики в технике и других науках. В связи с этим в последние десятилетия бурно развивается прикладная математика.

Крупнейшие математики четвертого периода: в ХIX в. – К.Гаусс, О. Коши, К. Вейерштрасс, Н. Абель, Э. Галуа, Н. И. Лобачевский, П. Л. Чебышев, Б. Риман, Г. Кантор, Ф. Клейн, А. Кели, С. Ли, А. Пуанкаре, Д. Гильберт (большая часть жизни Гильберта приходится на ХХ в.) и др.; в ХХ в. – А.Лебег, а Вейль, Ж. Адамар, К. Гедель, Н. Нейман, Н. Винер, С. Банах, Э. Фредгольм, А.Н. Колмогоров, М.А. Лаврентьев, П.С. Александров и др.

Источник